Zeigen Sie, dass (v,Av,...,Ak−1v) linear unabhängig in Kn sind.

Question

 Hi Leute!

Bei der Aufgabe komme ich irgendwie nicht weiter.

Vielen Dank schonmal im Voraus! :)

Sei K ein Körper und A ∈ M(n×n;K).

Seien weiterhin v ∈ Kn und k ∈ N>0 mit Ak−1v 6= 0 und Akv = 0.

Zeigen Sie, dass (v,Av,...,Ak−1v) linear unabhängig in Kn sind.

Comments

Ich hab keine Ahnung was Du meinst. Schreib das doch mal so auf, dass man es auch verstehen kann. Was soll z.B. Ak-1v6=0 bedeuten?

---

Soll vermutlich \(A^{k-1}\cdot v\ne0\) heißen.

Answer 1

Hi,
$$  0 = A^{n-1} \sum_{i=1}^n \alpha_i A^{i-1} v = \sum_{i=1}^n \alpha_i A^{n+i-2}v = \alpha_1 A^{n-1} v $$ also \( \alpha_1 = 0 \) usw.

Comments

könntest du mir deinen Lösung erklären,weil ich auch an der Aufgabe häng und sie gerne verstehen würde.

---

Hi,
wenn Deine Vektoren l.u. sein sollen, muss untersucht werden ob aus
$$ (1) \quad \sum_{i=1}^n \alpha_i A^{i-1} v = 0 $$ \( \alpha_i = 0 \text{ für } i=1 \cdots n \ \) folgt.

Dazu multipliziere (1) mit \( A^{n-1} \), dann bekommst Du

$$  (2) \quad 0 = A^{n-1} \sum_{i=1}^n \alpha_i A^{i-1} v = \sum_{i=1}^n \alpha_i A^{n+i-2}v = \alpha_1 A^{n-1}v $$
In der letzten Summe sind alle Terme \( A^{n+i-2}v = 0  \) außer für \( i = 1 \) weil \( n+i-2 \ge n  \) für \( i > 1\) und da \( A^{n-1}v \ne 0 \)gilt, folgt also \( \alpha_1 = 0 \)

Das Gleiche machst Du nun auch für die restlichen Kooeffizienten.