Hilfe bei Aufgaben zur Stetigkeit

Question

Hey :)

Ich bräuchte mal Eure Hilfe zum oben genannten Thema. Ich habe hier 4 Übungsaufgaben wo ich gerade nicht weiter komme und mal Eure Hilfe bräuchte :)

1) Zeigen Sie, dass die Funktion f: ℝ→ℝ, x ↦ ⌊x⌋ in allen x₀ ∈ ℤ unstetig und in allen x₀ ∈ ℝ \ ℤ stetig ist.

2) Zeigen Sie, dass f: ℝ→ℝ, x ↦ Ι ⌊x + 1/2 ⌋ -xΙ stetig auf ganz ℝ ist.

3) Polynome p: ℂ ↦ ℂ sind stetig.

4) Es sei f: ℝ→ℝ eine Funktion mit f(0), die stetig in x₀=0 ist. Weiterhin gelte f(x+y) = f(x) + f(y) für alle x,y ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass f auf ganz ℝ stetig ist.

Vielen Dank :)

Answer 1

1) Zeigen Sie, dass die Funktion f: ℝ→ℝ, x ↦ ⌊x⌋ in allen x₀ ∈ ℤ unstetig

und in allen x₀ ∈ ℝ \ ℤ stetig ist.

In jeder Umgebung von xo aus Z gibt es x-Werte die kleiner und die größer xo sind.


Deren Funktionswerte unterscheiden sich um 1 , liegen also nicht in einer eps-Umgebung


etwa mit eps=0,2 um f(xo) .

2) Zeigen Sie, dass f: ℝ→ℝ, x ↦ Ι ⌊x + 1/2 ⌋ -xΙ stetig auf ganz ℝ ist. 


Für x = n+0,5 mit n aus Z extra betrachten. 

An allen anderen Stellen aus dort


stetigen Funktionen zusammengebaut.

3) Polynome p: ℂ ↦ ℂ sind stetig.   

Polynome sind  sind durch endlich viele Additionen und Multiplikationen aus


konstanten Funktionen und der Identität aufgebaut, also überall stetig.

4) Es sei f: ℝ→ℝ eine Funktion mit f(0), die stetig in x₀=0 ist.

Weiterhin gelte f(x+y) = f(x) + f(y) für alle x,y ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass f auf ganz ℝ stetig ist. 

Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/411402/stetig-stetig-komme-beweis-nicht-weiter-kann-jemand-helfen