Grenzwert von Funktionen

Question

Ich bräuchte Hilfe bei Aufgabe d)

Zum 1ten Grenzwert: Da reicht es doch einfach für alle x 0 einzusetzen... Dann erhalte ich doch den Grenzwert -1/2

Zum 2ten: Da kann ich nicht einfach die 1 einsetzen, da dann der Nenner 0 ist, also wie löse ich dann den zweiten Grenzwert.

Und zu den anderen wären paar Tipps klasse.

Answer 1

zum Beispiel:

1. Grenzwert : Lösung durch Einsetzen : Lösung -1/2

2. Grenzwert : Lösung durch Faktorisieren ; Lösung ist 0

ich lasse mal das Limes Zeichen weg, muß natürlich stehen

Zähler: (x-1)^2( x+1)

Nenner: (x-1)(x^2+2)

Kürzen von x-1

--------->( 0*2)/3=0

5. Grenzwert : Du hast den Ausdruck 0/0 ; Lösung durch L'Hospital ; Ergebnis :2

Comments

Ok... die 3 habe ich nun verstanden, aber bräuchte noch bei den anderen 6 Hilfe.

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EDIT: Bitte beachte die Schreibregeln https://www.mathelounge.de/schreibregeln und stell deine Fragen einzeln ein, wenn du gar keine Ahnung hast. Du kannst dann aber auch gleich einen eigenen Versuch/Anfang in die Frage einbauen, den dir dann bestimmt bals jemand kommentiert.

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Wie würde ich die Aufgaben ohne l'Hospital, also nur mit den vier Möglichkeiten, die über der Aufgabe stehen. Also bei 5) könnte man das über den lim x→0 sin(x)/x lösen. Dasselbe bei 9.

zu 3) Der Grenzwert existiert nicht , weil sin(-∞) nicht existiert. Der Sinus kann fürs unendliche ja jeder Zahl zwischen -1 und +1 annehmen.

Bei 4) kann ich ja den lim vom Zähler und vom nennen einzeln bestimmen . Der vom Zähler existiert nicht und der vom Nenner ist -∞ , aber ich weiß nicht wie ich dann weiter rechne.

Aber zu 6,7 und 8 habe ich noch keine Idee , wie ich das ohne l'Hospital löse... Und könnte da deine Hilfe gebrauchen.

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zu 3) sehe ich auch so

Bei 4) kann ich ja den lim vom Zähler und vom
nennen einzeln bestimmen . Der vom Zähler
existiert nicht und der vom Nenner ist -∞ ,
aber ich weiß nicht wie ich dann weiter rechne.

die sin-Funktion im Zähler oszilliert zwischen -1 ..1
Im Nenner steht - ∞
Der Quotient geht in allen Fällen gegen 0

mfg

Answer 2

Zur 2.Aufgabe

Wie du erkannt hast ergibt sich 0 / 0
Ein Fall für l´Hospital

Zähler und Nenner getrennt ableiten

z ´= 3 * x^2 - 2 * x - 1
n ´ = 3 * x^2 - 2 * x + 2

z ´( 1 ) = 0
n ´( 1 ) = 3
0 / 3 = 0

Solltest du l´Hospital nicht kennen wäre das
Faktorisieren angesagt.

Kann ich auch vorführen.

Comments

Wäre klasse, wenn du das Faktorisieren auch noch einmal vorführen könntest.

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Zähler
1.Nullstelle x = 1
Polynomdivision
x^3 - x^2 - x + 1 : x -1 = x^2 -1
( x^2 -1 ) * ( x -1 )

Nenner
( x^2 + 2 ) * ( x -1 )

mfg

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Kann man 2) auch mit Substitution lösen? Wenn dann wie?

Ich soll wohl nur die vier Möglichkeiten zur Berechnung nutzen, die über der Aufgabe stehen.

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" bestehen viele Möglichkeiten zur Berechnung ... "

Punkt 1 ist der Hinweis auf übliche Grenzwertberechnungen
( mehrere Möglichkeiten )
2 wurden vorgeführt

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Ich soll dennoch nur die vier Möglichkeiten dadrunter nutzen. Hospital hatten wir noch nicht. Und normalerweise bekomme ich keine Punkte , wenn ich die Aufgabe anders löse, als dadrüber steht.

Also wäre es auch möglich 2 mit Substitution zu lösen?

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1.) So kann man Grenzwertrechenregeln anwenden.
Diese wurden bei der Faktorisierung angewendet.

Leider kann ich dir bei den anderen Verfahren
nicht helfen.

Frag bitte bei dem anderen Antwortgeber
" Großer Löwe " einmal nach was er davon
hält.

mfg

Answer 3

bei e^{-z^2}/z existiert der Grenzwert gegen ∞_C nicht.

Setze z=x, x∈|R

lim x---> ∞ e^{-x}/x=lim x---> ∞ 1/(e^x x)=0

Setze nun z=iy, y∈|R

lim y ---> ∞ e^{-[iy]^2}/iy

=lim y ---> ∞ i* e^{[y^2]}/y

=i*∞

Comments

lim x ---> ∞ tanh(x)/x=1/∞=0

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lim x---> 0 (e^x -1)/sin(x)

Taylor Entwicklung in x=0:

=lim x---> 0 (x)/x=1

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Den letzten kann ich auch mit Potenzreihe/(sin(x)/x ausrechnen . Habe da dann auch 1 raus.

Und ist, dass was ich zu 3 und 4) geschrieben habe richtig?

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Ich verstehe noch nicht ganz deine Antwort zum Grenzwert von 1/(e^{z^2}*z wieso setze ich erst z=x und dann z=i*y . Und was ist mit den Betragstrichen muss man die nicht beachten , es ist ja |z| →∞

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Wenn der Grenzwert |z|--> ∞ existiert,  dann ist es egal welchen Weg man nimmt. Ich habe oben zwei spezielle Wege gewählt: einmal nur auf der reellen Achse entlang (z=x)und einmal nur auf der imaginären Achse entlang (z=iy). In beiden Fällen geht |z| gegen unendlich. Da aber die beiden Grenzwerte sich unterscheiden, existiert der zu untersuchende Grenzwert nicht.

Alternativ kann man auch z=|z|*e^{iφ} setzen und damit weiter rechnen.

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Ich verstehe nicht wie du von (e^{-((iy)^2)/iy} auf i*e^[y^2]/y kommst.

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Es ist:

$$ -(iy)^2=-i^2y^2=(-1)*(-y^2)=y^2\\\frac { 1 }{ i }=-i $$

Bei dem Bruch hatte ich das Minus vergessen, tut mir leid.