Dimensionsformel für UVR

Question

folgende Aufgabe:

Geben Sie für folgende UVRe von ℝ³ U∩U' und U+U' an. Was besagt jeweils die Dimensionsformel für UVRe?

a) U= y-Achse, U'= x-Achse

--> Die Dimensionformel lautet ja:  dim_K(U+U')=dim_K(U)+dim_KU'-dim_K(U∩U')  (K sei ℝ³), die verstehe ich soweit. Mein Problem ist jedoch: Wenn ich UVRe von einem VR habe, haben die doch immer die gleiche Dimension oder? Wie kann ich die Dimensionsformel dann anwenden, bzw. was bringt die überhaupt? Oder verstehe ich da was falsch?

Danke für eure Hilfe,

meghan16:)

Answer 1

ein UVR hat ganz sicher nicht immer die gleiche Dimension. Wenn Du ganz primitiv den \( \Bbb R^3 \) nimmst, haben UVR die Dimension 0, 1, 2 oder 3 (letztes wäre der \( \Bbb R^3 \) selbst).

Wenn Du z.B. zwei UVR der Dimension 2 nimmst (das wären Ebenen), dann müssen die als Teile des \( \Bbb R^3 \) eine gemeinsame Schnittlinie haben, und der ist selbst ein UVR (der Dim. 1).

Grüße,

M.B.

Comments

Ich schmeiße glaube ich gerade alles durcheinander :(  Also kann ich die Dimension nicht irgendwo ablesen, sondern muss dass immer alles sauber durchrechnen oder? Wir haben das in der Uni mit dem Gauß-Algorithmus gemacht und ergab die Anzahl der Unbekannten- Höhe des Trapezes gleich die Dimension. Habe ich das soweit richtig verstanden? Dann verstehe ich jedoch noch nicht so genau wie das beim obigen Beispiel funktionieren soll...

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ein Vektorraum kann ganz unterschiedlich aussehen und hat oft eine Struktur, die nicht vorstellbar ist. Damit musst Du immer alles rechnen.

Mit dem Gauß-Algorithmus bestimmst Du Lösungen eines LGS und keine Dimensionen eines VR. Du kannst allerdings zeigen, dass die Lösung eines homogenen LGS auch ein Vektorraum ist.

Grüße,

M.B.

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und wie berechne ich dann die Dimension?

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die Dimension ist formal die Anzahl der Basisvektoren. Wie Du eine Basis (und damit die Dimension) bekommst, hängst stark vom Vektorraum ab.

Grüße,

M.B.

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nächster Versuch: wenn U (= UVR von ℝ³) die x-Achse ist, heißt doch die Menge: U={t * (1 0 0)I t∈ℝ} (ich hoffe dass ich jetzt nicht schon wieder völlig daneben liege). Dh. doch die Basis von U besteht nur aus einem Element, nämlich (1 0 0), oder? stimmt das? --> dann wäre die Dimension von U auch 1, weil U nur aus einem Basiselement besteht?

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vom Prinzip richtig.

(1,0,0) ist nicht die Basis, sondern eine Basis.

Und nicht U besteht aus 1 Element, sondern die Basis von U.

Grüße,

M.B.

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Gottseidank, ok und  um dann die Aufgabe zu vervollständigen: Die Dimension von U' ist auch 1 und von U∩U' ebenfalls --> dh. die Dimension von U+U' ist auch 1. Richtig?

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(Gott ist etwas für die Kirche, nicht für die Mathematik.)

Falsch.

\( U' \) ist die y-Achse und hat die Dimension 1 (Du hast U und U' gegenüber der Aufgabe außerdem vertauscht).

\( U \cap U' \) ist die Schnittmenge und die ist hier nur der Punkt (0;0) mit der Dimension 0.

\( U+U' \) heißt: Alle Vektoren aus U werden mit allen Vektoren aus U' addiert. Letztendlich ist die Menge \( U+U' \) einfach alle Linearkombination aller Vektoren, die Du hast.

In Deinem Fall ist \( U+U' \) ist die vollständige x-y-Ebene und hat die Dimension 2. Du kannst das auch über die Basis zeigen, da das Erzeugendensystem (nicht die Basis) von \( U+U' \) alle Basisvektoren von U und U' sind.

Grüße,

M.B.