Wie Extrema von f(x)=(e^x-x) von dieser Funktion bestimmen?

Question

Habe die Funktion  f(x)=(e^x-x) gegeben. Um die Extrema zu bestimmen,habe ich die erste Ableitung bestimmt.

 f(x)=(e^x-x) ¹

1*(e^x-x)*e^x-1

f'(x)= (e^x-1)(e^x-x)

Für die Bedingung für Extrema ist ja F'(x)=0

(e^x-1)(e^x-x)=0

Ist meine erste Ableitung richtig und wie muss man danach vorgehen,wenn man die erste Ableitung gleich 0 gesetzt hat. Würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

y= e^{x} -x

y'= e^{x}-1

0 = e^{x}-1 |+1

1=e^x

ln(1)= x *ln(e) ->ln(e)=1

x=0

Answer 2

die ableitung ist leider falsch weil du die produktregel, soll es sicher sein?,  benutzt hast....

Comments

Ich dachte ich hätte die Kettenregel benutzt..hm

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und warum die kettenregel? ich sehe keine verschachtelung...

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Du kannst die Klammer einfach weglassen und leitest dann einfach jeden Summanden ab. Die Kettenregel verwendest du quasi nur bei e^x , aber das ist ja abgeleitet bekanntlich wieder e^x

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Hinweis : du mußt noch Ableitungsregeln
üben.

f(x)=(e^x-x)
Die Klammerung erfüllt keinen Zweck
Dies ist dasselbe wie
f ( x ) = e^x - x
Dann summandenweise ableiten

Wenn du schon umformen willst in
f ( x ) = ( e^x - x )^1 muß nach der Potenz- und
Kettenregel abgeleitet werden
f ´( x ) = 1 * ( e^x - x )^{1-1} * ( e^x - x ) ´
f ´( x ) = ( e^x - x )^{0} * ( e^x - 1 )
f ´( x ) = 1 * ( e^x - 1 )
f ´ ( x ) = e^x - 1

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ok ich dachte du hast die produktregel falsch geschrieben aber die kettenregel ist es leider nicht da es keine verschachtelung gibt, es ist die summenregel.

Um Minima/maxima zu bestimmen brauchst du noch f'' (x)

f''(x) = (e^x - 1)' = e^x

f'(0) = 0 ∧ f''(0) = e⁰ = 1 > 0 ---> Minimum bei (0, 1)