Question

Finden Sie alle Lösungen x∈ℝ der Gleichung:

arctan x + arctan x³  = π/4

Answer 1

arctan x + arctan x³  = π/4

Es gelten folgende Beziehungen:

Bei :

Umrechnung in andere trigonometrische Funktionen

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie

Answer 2

$$ arctan(x)+arctan(x^3)=arctan(\frac { x+x^3 }{ 1-x^4 })=\pi/4 \\ \text{(Bedingung: } x^4<1 bzw. -1< x< 1) \\ \to \frac { x+x^3 }{ 1-x^4 }=1 \\ \frac { x(1+x^2) }{ (1+x^2)(1-x^2) }=1\\ \frac { x }{ (1-x^2) }=1\\x=1-x^2\\x^2+x-1=0\\{ x }_{ 1 }=-\frac { 1 }{ 2 }-\frac { \sqrt { 5 } }{ 2 } <- 1 \\ \text{daher keine Lösung der Ausgangsgleichung}\\ { x }_{ 2 }=-\frac { 1 }{ 2 }+\frac { \sqrt { 5 } }{ 2 }$$

Comments

woher kommt denn bei

arctan(x)+arctan(x3)=arctan(x+x31−x4)=π/4

das "1-x^4"  unter dem Bruchstrich?

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Siehe hier:

https://www.matheretter.de/wiki/additionstheoreme#ubersicht_f.C3.BCr_Arkusfunktionen

Die verwendete Regel lautet:

$$ arctan(x)+arctan(y)=arctan(\frac { x+y }{ 1-xy }); \text{wenn }xy<1 $$