Exponentialfunktion. Anzahl Pantoffeltierchen in Nährlösung im Zeitintervall [ a;a+0,5]

Question

Knifflige Aufgabe brauche Hilfe

N₁(e)= 500 e^0,6*t

Weisen Sie nach, dass die prozentuale Abweichung des arithmetischen Mittels der Funktionswerte N₁(a) und N₁(a+0,5) von der durchschnittlichen Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung in einem Zeitintervall [ a;a+0,5]  mit 0<=a<=2,5 unabhängig von a weniger als 1 % beträgt.

abitur-aufgabe.pdf (0,2 MB)

Answer 1

Hi,
der Mittelwert ergibt sich zu
$$ \frac{N_1(a) + N_1(a+0.5)}{2} = 250 \cdot e^{0.6 \cdot a} \left( 1 + e^{0.3} \right)  $$

Der korrekte Wert berechnet sich zu
$$ \frac{ \int_a^{a+0.5} N_1(t) dt}{0.5} = 1000 \cdot \frac{10}{6} \cdot e^{0.6 \cdot a} \left( e^{0.3}-1  \right)  $$

Der prozentuale Fehler ergibt sich damit zu
$$  \frac{ 250 \left( 1 + e^{0.3} \right) - 1000 \cdot \frac{10}{6} \cdot \left( e^{0.3}-1  \right) }{1000 \cdot \frac{10}{6} \cdot \left( e^{0.3}-1  \right)} = 0.749 \% $$