Berechne den Differenzenquotienten von f im Zeitintervall [ 0 ; 24 ] und interpretiere diesen Wert im gegebenen …

Question

Aufgabe:

Einem Patienten werden um 8:00 Uhr morgens 250 mg eines pharmazeutischen Wirkstoffes per Infusion verabreicht . Der Wirkstoff wird danach im Körper abgebaut . Wir gehen näherungsweise davon aus , dass zum Zeitpunkt t = 0 ( in h ) bereits die gesamte Wirkstoffmenge im Blut vorhanden ist . Vereinfacht gilt dann für die Menge f ( t ) der zum Zeitpunkt t≥ 0 ( in h ab Einnahme ) vorhandenen Wirkstoffmenge im Blut in Milligramm : f ( t ) = 250 e *-0,045 - t

. Berechne den Differenzenquotienten von f im Zeitintervall [ 0 ; 24 ] und interpretiere diesen Wert im gegebenen Kontext .

. Begründe rechnerisch und grafisch , dass die momentane Änderungsrate von f zum Zeitpunkt t = 0 absolut gesehen größer ist als die durchschnittliche Änderungsrate im Zeitintervall [ 0 ; 24 ] .

. Es gibt einen Zeitpunkt te [ 0 ; 24 ] , zu dem die momentane und die durchschnittliche Änderungsrate den gleichen Wert haben . Ermittle diesen Zeitpunkt rechnerisch und grafisch .

Problem/Ansatz:

Hallo, Kann mir jemand bitte dass erklären?

Ich die Differenzenquotient [0;24] schon gerechnet es ist 6,88 mg/h

Aber die anderen Punkte verstehe ich nicht ganz!

Comments

Gilt wirklch f(t) = 250 e * -0,045 - t oder vielleicht eher f(t) = 250 e ^{-0,045 - t} ?

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e hoch -0,045t ich kann hoch nicht tippen bei meinem keyboard, deshalb habe ich * ein Stern gemacht

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Danke für die Klarstellung. Behelfsmäßig kann man es als 250 e ^ (-0,045 - t) darstellen. Zirkumflex, nicht Stern. Steht im Exponenten nun -0,045 - t oder -0,045 t ?

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Mal t nicht -t es tut mir leid keyboard ändert sehr viel von sich selbst

f(t)=250×e^-0,045t

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Heißt die Abbaufunktion nun

f ( t ) = 250 * e ^ (-0.045 * t)

mfg Georg

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selbe Frage wie Georg: Also eher f(t)=250×e^(-0,045t) als f(t)=250 × e^-0,045 t ?

Answer 1

f ( t ) = 250 * e ^ (-0.045 * t)
Differenzenquotient
f ( 0 ) = 250 mg
f ( 24 ) = 84.9 mg
[ f ( 24 ) - f(0) ] / 24
- 6.88 mg / std
Die Wirkstoffkonzentration nimmt um 6.88 mg/Std ab.

Comments

Danke, aber das habe ich schon

Ich brauche Punkt 2 und 3

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Hier einmal der Graph

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Text erkannt:

964 Einem Patienten werden um 8:00 Uhr morgens 250 mg eines pharmazeutischen Wirkstoffes per Infusion verabreicht. Der Wirkstoff wird danach im Körper abgebaut. Wir gehen näherungsweise davon aus, dass zum Zeitpunkt \( t=0 \) (in \( \mathrm{h} \) ) bereits die gesamte Wirkstoffmenge im Blut vorhanden ist. Vereinfacht gilt dann für die Menge \( f(t) \) der zum Zeitpunkt \( t \geq 0 \) (in h ab Einnahme) vorhandenen Wirkstoffmenge im Blut in Milligramm: \( f(t)=250 \cdot e^{-0,045 \cdot t} \)
a) Medizinische Studien haben gezeigt, dass das Medikament nur dann Wirkung zeigt, wenn die Wirkstoffmenge mindestens \( 80 \mathrm{mg} \) beträgt. Berechne, wie viele Stunden nach der Einnahme das Medikament Wirkung zeigt.
Der Behandlungsplan sieht vor, dass der Patient täglich um 8:00 eine Infusion erhalten soll. Erläutere auf Grundlage des mathematischen Modells, ob dieser Plan zielführend ist.
b) Berechne den Differenzenquotienten von \( f \) im Zeitintervall \( [0 ; 24] \) und interpretiere diesen Wert im gegebenen Kontext.
Begründe rechnerisch und grafisch, dass die momentane Änderungsrate von \( f \) zum Zeitpunkt \( t=0 \) absolut gesehen größer ist als die durchschnittliche Änderungsrate im Zeitintervall \( [0 ; 24] \).

Es gibt einen Zeitpunkt \( t^{*} \in[0 ; 24] \), zu dem die momentane und die durchschnittliche Änderungsrate den gleichen Wert haben. Ermittle diesen Zeitpunkt rechnerisch und grafisch.

Der rotes Bereich verstehe nicht !

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f ´( t ) = -11.25 * e ^ (-0.045 * t)
f ´( 0 ) = -11.25 mg / std

Fällt zu Anfang steiler ab.

Absolut gesehen 11.25 mg / std

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Woher kommt -11.25?

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Es gibt einen Zeitpunkt te [ 0 ; 24 ] , zu dem die momentane und die durchschnittliche Änderungsrate den gleichen Wert haben . Ermittle diesen Zeitpunkt rechnerisch und grafisch .

f ´( t ) = -11.25 * e ^ (-0.045 * t) = - 6.88
t = 10.93 Std

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Vielen Dank, es war sehr hilfreich

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Hier der Graph Änderungsrate zu Zeit