Analysis: Steinerner Monumentalbrunnen mit Randkurven f und g. f(x) = 3/25 x^2 + 3, g(x) = 2*√(x-1)

Question

Ich brauche Hilfe bei a)-f). Es reicht der Ansatz und die direkte Lösung zum Vergleichen.

Analysis: Steinerner Monumentalbrunnen mit Randkurven f und g. f(x) = 3/25 x^2 + 3, g(x) = 2*√(x-1) 

Comments

Stimmen meine Lösungen?           

 

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Hallo probe,

so langsam nehme ich das mit dir und den
Rotationskörpern nicht mehr ab.

Diese Frage hast du am 14.jan. bereits gestellt.

Ebenso die Frage nach dem Zelt.

Teilweise wurden dir Fragen mit über 20
Kommentaren beantwortet.

Du fragst in Variationen immer denselbe das
dir schon tausend Mal erklärt worden ist.

Answer 1

f ( x ) = 3 / 25 * x^2 + 3
g ( x ) = 2 * √ ( x -1 )

a.)
A ( x ) = ∫ ( 0 bis 5 ) f ( x ) dx minus ∫ ( 1 bis 5 ) g ( x ) dx

Sf ( x ) = 3 /25 * x^3 / 3 + 3 * x
Sg ( x ) = 2 * ∫ ( x - 1 )^{1/2}  = 2 * 2/3 * ( x -1 )^{3/2}
Sg ( x ) = 4 / 3 * ( x -1 )^{3/2}

A ( x ) = [ Sf ] ₀⁵ - [ Sg ] ₁⁵ = 20 - 32 /3

Links und rechts
A = 2 * 28 / 3

Comments

f ( x ) = 3 / 25 * x² + 3
y =  3 / 25 * x² + 3
x = 3 / 25 * y² + 3
x - 3 = 3 / 25 * y²
y = √ (  ( x - 3 ) * 25 / 3 )

g ( x ) = 2 * √ ( x -1 )
y = 2 * √ ( x -1 )
x = 2 * √ ( y -1 )
√ ( y -1 ) = x / 2
( y -1 ) = ( x / 2 )^2
y = ( x / 2 )^2 + 1

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c) Kann man hier die Differenzfunktion bilden, davon die erste Ableitung bilden und dann setzt man es gleich 0?

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c.)
Höhen Mitte und am Rand
f ( 0 ) = 3
f ( 5 ) = 6

Ich nutze die Umkehrfunktion
fu  ( x ) = √ (  ( x - 3 ) * 25 / 3 )
A ( x ) = fu^2 * π
A ( x ) = ( x - 3 ) * 25 / 3 * π

V ( x ) = ∫ ( 3 bis 6 ) A ( x ) dx
V ( x ) = [ 25 / 3  * π * ( x^2 / 2 - 3 * x ) ]₃⁶
V =  75 / 2 * π = 117.81 m^3

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d.)
Ansatz
[ 25 / 3  * π * ( x² / 2 - 3 * x ) ]₃^x = 50

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Müßte x = 4.95 m sein.
Innerhalb des Brunnens bei
4.95 m - 3 m = 1.95 m

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Rote Kurve : Umkehrfunktion von g

gu = ( x / 2 )² + 1 

Bei Rotation Fläche berechnen

dann V1 = Volumen zwischen 0 und 4

Der gesamte Zylinder ist V = 5^2 * π * 6

V minus V1 minus 117.81

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Geht es bei a) um die Rotation um die x oder y Achse?

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Nun fast zum Schluss also leider doch noch.

Ich dachte schon du machst überhaupt keine Fehler mehr.

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Das ausgerechnete Volumen V1
ist das Volumen des Rotationskörpers
unterhalb der roten Kurve.
Gesucht ist aber das Volumen oberhalb
der roten Kurve also
( 5^2 * π * 4 ) - V1

V minus ( 314.16 minus  V1 ) minus 117.81
471.24 minus ( 314.16 minus  86.28 ) minus 117.81
125.55

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f.)
man kann 3 Abschnitte erkennen
0..3
3..4
4..6

1.Abschnitt nur die Funktion gu

gu^2 * π = 5
x = 1.02

im 3.Abschnitt kommt sich die 5 als Fläche auch sicher
noch einmal.

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3.Abschnitt nur fu

5^2 * π - fu^2 * π = 5
x = 5.81 m

Sind nunmehr alle Klarheiten beseitigt ?

Bei Bedarf nachfragen.

mfg

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Vielen Dank für die Hilfe.       

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Vielleicht kannst Du heute noch hier helfen:
https://www.mathelounge.de/414438/analysis-zirkuszelt-entsteht-durch-rotation-flachenstucks

Es geht aber nur um a)-d).

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Wie geht e)?

Ich verstehe nicht was du bei f) machst...

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e.)

Ich rechne etwas anders / einfacher.
Die Skizze zeigt dir den Brunnen.

Kurve : Umkehrfunktion von g
gu = ( x / 2 )² + 1

An einer Stelle ist die Fläche des Rotationskreises
A ( x ) = gu^2 * π
Die Stammfunktion ist
S ( x ) = ∫ A ( x ) dx
S ( x ) = ∫  (  ( x / 2 )² + 1  )^2 * π  dx
S ( x ) = π * ∫  (  ( x^2 / 2² + 1  )^2 * π  dx
S ( x ) = π * ( x^5 / 80 + x^3 / 6 + x )

Rotationsvolumen ( rote Fläche )
V  =  [ S ( x ) ] zwischen 0 und 4
V = 86.29 m^3

rechte Fläche ( als Rotationszylinder )
5^2 * π * 2 = 157.08 m^3

Volumen Wasserbecken 117.81 m^3 ( Abzug )

V = 86.29 + 157.08 - 117.81
V = 125.56 m^3

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f.)
Der Brunnen wird in beliebiger Höhe horizontal
durchtrennt. Was ist die Anschnittsfläche.?

Frage an dich : wie ist die Anschnittsfläche
bei h = 0 m, also am Fuß des Brunnens ?
Und die Anschnittsfläche bei h = 1 m ?

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Answer 2

Zu e) π∫₀⁵ (3x²/25+3)² dx-π∫₁⁵ (4x-4) dx

Comments

Wie kommst du auf 4x-4?

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Das ist (g(x))^2 .

Ich verstehe aber nicht genau, warum Roland die Formel für die Rotation um die x-Achse verwendet.

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Das ist das Quadrat von g(x).

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Das heißt man muss mit der Umkehrfunktion arbeiten?

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Alternative: In den Unterlagen / WIkipedia eine Formel suchen für Rotation um y-Achse.

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Lu hat wie immer recht. Ich habe mich geirrt.

Answer 3

a) Verdoppel die querschnittsfläche, dann passt das.

b) Umkehrfunktionen stimmen. f^-1 hätte ich noch vereinfacht.

c) Hab ich auch.

d) ist eine quadratische Gleichung die du lösen kannst oder nicht? Dank aber daran das dein ausgerechnetes h nicht die Füllhöhe ist.

e) Solltest du nochmal genau prüfen. 

f) Wie berechnest du die Querschnittsfläche. Das ist im Zweifel ein Kreis oder Kreisring mit bekannten Radien in einer gewünschten Höhe.

Comments

b) Umkehrfunktionen stimmen. f^-1 hätte ich noch vereinfacht.

Darf ich meine auch stehen lassen? Oder könnten mir allgemein bei sowas Punkte abgezogen werden?

d) mit der pq-Formel geht das ja nicht oder mit dem Satz vom Nullprodukt, da wir das ja nicht gleich 0 setzen...

?

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Deins kannst du so stehen lassen. Du hast ja nur einen Faktor ausgeklammert. Das ist im Zweifel sogar günstiger.

d) Du setzt es gleich 50 daher

... = 50

... - 50 = 0

Also kannst du das auch mit dem Null setzen und der pq-Formel machen.

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Ich komme bei d) auf -4,95... Kann ich einfach den Betrag nehmen --> 4,95.

Und noch 4,95-3=1,95

?

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Ich komme doch auf 4,95.

Dann also 4,95-3= 1,95....

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Ich verstehe nicht ganz, was ich bei e) falsch gemacht habe?

Das geht doch mit der Differenz oder nicht?

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Prinzipiel schon. Es spielt aber eine Rolle was du voneinander abziehst und wie du die einzelnen Teile berechnest.

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Es ist doch eine Rotation um die y-Achse?

mhh was habe ich denn falsch gemacht

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Ich sehe das jetzt erst das dir die Aufgabe eigentlich schon vorgerechnet worden ist. Warum stellst du sie nochmals ? Wen du Fragen hast kannst du auch in der ehemaligen Frage nachhaken.

e) V = ∫(pi·(1/4·x^2 + 1)^2, x, 0, 4) + pi·5^2·2 - ∫(pi·√(25/3·x - 25)^2, x, 3, 6) = 1199/30·pi = 125.6 m³

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Es ist doch eine Rotation um die y-Achse?

DU rotierst NIE um die Y-Achse. Du bestimmst die Umkehrfunktionen und rotierst um die x-Achse.

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Ja genau. Aber man sagt doch allgemein, es hadnelt sich um eine Rotation um die y-Achse oder nicht?

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e) V = ∫(pi·(1/4·x² + 1)², x, 0, 4) + pi·5²·2 - ∫(pi·√(25/3·x - 25)², x, 3, 6) = 1199/30·pi = 125.6 m³

Hier ist wahrscheinlich irgendwo noch ein Zylinder, mit dem Radius 5 und der Höhe 2, den ich leider nicht erkennen kann...

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Dann macht man sich auf die Suche

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Das massive STeinvolumen des Brunnens ist doch nur das rosa gefärbte oder nicht?
Die Aufgabe hätte doch auch heißen können...BEstimme das Voumen des Brunnens oder nicht?

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Ja. Das ist nur das rosa gefärbte.

Naja. Vielleicht denkt man beim Volumen des Brunnens kann man das Volumen des eingefüllten Wassers gleich mitnehmen.

Da wollte der Aufgabensteller mal sehr präzise werden. Im Zweifel sollte das einem aber lieber sein als Aufgaben die man nicht genau versteht.

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Also könnte man dafür theoretisch keine Punkte abgezogen werden oder? Oder hängt das immer davon ab...

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Wofür? Natürlich können dir immer Punkte abgezogen werden, wenn du eine Aufgabe falsch löst.

Zumindest wenn die Aufgabenstellung unmissverständlich gestellt wird.

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f) Wie berechnest du die Querschnittsfläche. Das ist im Zweifel ein Kreis oder Kreisring mit bekannten Radien in einer gewünschten Höhe.

Für ein Kreis gilt: A=πr²

Aber da ist ja keine Höhe vorhanden?

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Der Radius eines Rotationsintegrals ist doch von x abhängig. Sonst wäre es doch ein normaler Zylinder. Und x ist bei dir auch die Höhe.

Weiter oben hattest du schon die Antwort 

"f.) 

Der Brunnen wird in beliebiger Höhe horizontal 
durchtrennt. Was ist die Anschnittsfläche.?

Frage an dich : wie ist die Anschnittsfläche 
bei h = 0 m, also am Fuß des Brunnens ? 

Und die Anschnittsfläche bei h = 1 m ?"

bekommen. Das sollte dir doch helfen.

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Ich verstehe den Zusammenhang nicht ganz.

Was ist eigentlich eine Anschnittsfläche?

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Anschnittsfläche = Querschnittsfläche

Die Fläche die du erhältst, wenn du mit der Säge einen schönen Schnitt durch den Körper ausführst.

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Unten ist ein Kreis oder?
Bei 5?

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pi·(1/4·x^2 + 1)^2 = 5 --> x = 1.023 m

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Mit welchem Verfahren bestimmst Du x?

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Direktes auflösen.

Enthält eine Gleichung die Unbekannte nur an genau einer Stelle, kann man direkt zur Unbekannten auflösen.

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pi·(1/4·x² + 1)² = 5 --> x = 1.023 m

pi·(1/4·x² + 1)² =5

pi*(1/16 x⁴+1/2 x²+1)=5

??

pq-Formel geht ja nicht

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pi·(1/4·x^2 + 1)^2 = 5

(1/4·x^2 + 1)^2 = 5/pi

1/4·x^2 + 1 = ±√(5/pi)

1/4·x^2 = -1 ± √(5/pi)

x^2 = -4 ± 4·√(5/pi)

x = ±√(-4 ± 4·√(5/pi))

Es kann also theoretisch 4. Lösungen geben wobei hier nur eine interessant ist.

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pi·(1/4·x² + 1)² = 5 --> x = 1.023 m

Kannst Du vielleicht sagen, wie man auf diesen Ansatz kommt.

Diesen verstehe ich nicht ganz.                

Ich weiß, dass das die Umkehrfunktion ist. Aber wo ist das Inetgral und die Grenzen?

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Warum sollte dort ein Integral sein? Hat man hier ein Rotationsvolumen ?

Fläche A = 5

pi * r^2 = 5

da der Radius eben genau der Funktionswert ist r = 1/4·x² + 1

sollte der Rest eigentlich klar sein.

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Mir ist das rechnerische jetzt klar.

Aber wie kannst Du dir das vorstellen? Also ich sehen z.B. keinen Kreis...

Wie stellt man sich die Aufgabe besser vor?

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Ein Rotationskörper bildet doch an jeder Stelle einen Kreis durch das rotieren.

Die Volumenformel für ein Rotationskörper lautet

∫ pi * (f(x))^2 dx

Dabei ist natürlich pi * (f(x))^2 eine Kreisfläche mit dem Radius f(x).

Bitte lerne nicht einfach nur Formeln auswendig sondern verstehe was dahinter steckt. Dann ist auch klar das

pi * (f(x))^2 die Kreisfläche an einer Stelle x ist.

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