Es sei E1 ={x∈R3|x1 −x2 +2x3 =4} eine Ebene in R3
und G1: x=(4,0,0)+λ(0,2,1) eine Gerade, die in E1 enthalten ist.
(a) Bestimmen Sie eine Gerade G2, die orthogonal zu G1 ist und auch in E1 enthalten ist.
G2 braucht einen Richtungsvektor senkrecht zu (0,2,1) und zu (1;-1;2) das
wäre z.B. ( 5 ; 1 ; -2 ) und Punkt (4 ; 0 ; 0 ) also
G2: x=(4,0,0)+λ(5,1,-2)
(b) Bestimmen Sie eine Ebene E2, deren Schnittmenge mit E1 die Gerade G1 ist.
E2 muss also G1 enthalten und einen Richtungsvektor, der nicht senkrecht zu
(1;-1;2) ist. z.B. (1;0;1) . Dann ist ein Normalenvektor von E2 einer der
senkrecht zu (1;0;1) und zu (0,2,1) ist, also etwa ( -2 , -1 , 2)
und wegen (4,0,0) aus E2 ist also
E2: -2x1 - x2 + 2x3 = -8
(c) Bestimmen Sie die Schnittmenge zwischen E1 und {x ∈ R3|x1 = 0}.
Dazu kannst du (0,x2,x3) einsetzen und bekommst aus
x1 −x2 +2x3 =4 dann -x2 + 2x3 = 4 bzw x2 = 2x3 - 4
also sehen die gemeinsamen Punkte mit x3 = t so aus
Vektor x = ( 0 , 2t - 4 ; t ) = ( 0 , -4 , 0 ) + t * ( 0 , 2 , 1 )
Das ist die Geradengleichung.
