Nullstellenerfassung (exakt)

Question

Liebe Community , ist es möglich :

 

f(x) =       (4x^6  - 28x^4  + 49x^2 )          /        (x^4  - 7x^2  - 16)

Ist es möglich , eine derartige Gleichung nach x aufzulösen , ohne Verfahren, wie das " Newton-Verfahren" oder " Regula falsi" zu benutzen ?

Ich bitte um eure Hilfe ...

Answer 1

Nullstellen bedeutet f(x) = 0

(4·x^6 - 28·x^4 + 49·x^2) / (x^4 - 7·x^2 - 16) = 0

Nun ist ein Bruch genau dann Null wenn der Zähler Null ist und der Nenner ungleich Null. Daher kann ich nur den Zähler Null setzen

4·x^6 - 28·x^4 + 49·x^2 = 0

x^2·(4·x^4 - 28·x^2 + 49) = 0

x = 0

4·x^4 - 28·x^2 + 49 = 0

Substitution z = x^2

4·z^2 - 28·z + 49 = 0

z = 3.5

x = ± √3.5 = ±1.87

Skizze:

Comments

Da hast Du wohl ein Minus in Dein Schaubild gemogelt ;).

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Eigentlich nicht. Aber achte darauf das dieses die Original Funktion ist also inkl. dem Nenner und nicht nur der Zähler.

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Das würde die Sache ja nur schlimmer machen^^.
Wo sind die Polstellen etc. Also den ganzen Bruch hast Du hier nicht berücksichtigt.

Du hast alleine den Zähler aufgetragen. Allerdings ist der Vorfaktor von x^6 positiv ;), der Graph müsste also nach oben geöffnet sein.

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Polstellen sind bei 2.97. Der Graph sieht so komplett aus. Auf diese Darstellung habe ich verzichtet, weil man die Nullstellen nicht mehr erkennen kann.

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Yup, das ist richtig.

Ändert aber nichts daran, dass Dein erster Graph falschrum orientiert ist. Das sollte nur ein Hinweis/Verwunderung sein. Für die Nullstellen selbst ist es ohnehin egal.

 

f(x)=4·x⁶ - 28·x⁴ + 49·x²

gib das nochmals in Deinen Plotter ein. Es wird klar, worauf ich hinziele ;).

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Wie gesagt ist auch das erste ein Graph des kompletten Funktionsterms und nicht nur des Zählers. Daher ist die Orientierung richtig herum.
Vielleicht errechnest du mal den Funktionswert an der Stelle 1 um das zu überprüfen.

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Ah, Du hast gezoomt.

Dann war das ein Missverständnis. Verzeih.

Dachte Du hättest auch in der Skizze nur Augenmerk auf den Zähler geworfen. Da die Orientierung ins stark negative geht, obwohl ein Streben ins positive zu erwarten war, hat wohl mein Blick getrübt ;).

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Wie gesagt musste ich Zoomen um die Nullstellen kenntlich zu machen. Da ging natürlich das wesentliche vom Graphen verloren. Aber anders hätte man die Nullstellen nicht erkannt :( Manchmal muss mal halt Prioritäten setzen :)

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Wohl wahr :D.

Answer 2

Hi Element,

f(x) =       (4x⁶  - 28x⁴  + 49x² )          /        (x⁴  - 7x²  - 16)=0

Für die Nullstellenbetrachtung ist alleine der Zähler verantwortlich:

4x^6-28x^4+49x^2=0

Klammere x^2 aus:

x^2(4x^4-28x^2+49)=0

Nun solltest Du wissen, dass ein Produkt dann 0 wird, wenn es ein Faktor wird:

x_1,2=0 kann mit dem ersten Faktor direkt abgelesen werden.

Für 4x^4-28x^2+49=0 nutze die Substitution:

x^2=u

4u^2-28u+49=0 |Binomi erkennen

(2u-7)^2=0

u_1,2=7/2

Resubstitution:

x_3,4=√7/2

x_5,6=-√7/2

 

Alles klar?

 

Grüße

Comments

 Wenn jetzt im Zähler als Beispiel 2x^3 + 3x^2 - 5x  - 20  steht , muss man die Candarischen Formeln benutzen , wenn man keine Zahl für die notwendige Polynomdivision sieht ?

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Ja genau. Allerdings kommt das erfahrungsgemäß eher selten vor.

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Die Candarische Formel ist sehr groß und auch nicht ganz einfach in der Anwendung. Wenn keine Nullstelle gefunden wird, würde ich eher das Newtonverfahren empfehlen. Aber generell hast Du recht, mit dieser Formel würde man dies auch lösen können ;).

Answer 3

Ja, das ist möglich:

f(x) = (4x⁶ - 28x⁴ + 49x²) / (x⁴ - 7x² - 16)

Wir können im Zähler x² ausklammern und erhalten

f(x) = x² * (4x⁴ - 28x² + 49) / (x⁴ - 7x² - 16)

Dann haben wir die erste Nullstelle bei

x₁ = 0, denn dann wird der Zähler = 0, der Nenner ≠ 0

Wenn wir jetzt im Term

4x⁴ - 28x² + 49 

x² durch z substituieren, erhalten wir

4z² - 28z + 49 = 0

z² - 7z + 49/4 = 0

Anwendung der p-q-Formel ergibt

z = 7/2

Rücksubstituieren: 

x₂ = √(7/2)

x₃ = -√(7/2)

Auch hier wird der Zähler = 0, der Nenner ≠ 0

Answer 4

\(4·x^4 - 28·x^2 + 49 = 0   |:4\)

\(x^4 - 7·x^2 + \frac{49}{4} = 0 \)    →Nullstellen, ohne Substitution:

\(x^4 - 7·x^2  = -\frac{49}{4} \)  → quadratische Ergänzung:   \(+(\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4} \)

\(x^4 - 7·x^2 +\frac{49}{4} = -\frac{49}{4} +\frac{49}{4}=0\)    → 2. Binom:

\((x^2-\frac{7}{2})^2 =0   | \sqrt{~~}\) 

\(x^2-\frac{7}{2}=0 \)

\(x^2=\frac{7}{2}  | \sqrt{~~}\)

\(x_1= \sqrt{\frac{7}{2}}\)

\(x_2=- \sqrt{\frac{7}{2}}\)

Comments

Warum beantwortet man über 10 Jahre alte Fragen, die schon beantwortet wurden? Und dann auch noch ohne neuen Inhalt.

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Moliets ist der Ehren-Präsident der Vereinigung der Retter der quadratischen Ergänzung (associatio salvatorum formulae suppletionis quadraticae e.V.) mit dem Ziel, diese vor der Bedeutungslosigkeit zu bewahren.

Nach der Einäscherung der Mitternachtsformel an einem 1.1. um 0 Uhr um das Jahr 2753 a.u.c. möchte er jener Formel dasselbe Schicksal ersparen und löst alles mit ihr, was nicht niet-und pq-sattelfest und noch greifbar ist in memoriam letzten großen Liebe. :)

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Die quadr. Ergänzung wurde aber oben bereits gezeigt. Nur nach erfolgter Substitution. Liefert hier meines Erachtens also gar keinen Mehrwert.

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ggT hat ein Drittel der grundlegenden Eigenschaften von Moliets schon treffend beschrieben, besser hätte ich diesen Teil auch nicht ausdrücken können.

Mindestens zwei der folgenden drei Merkmale treffen auf fast jede Antwort von Moliets zu:

1) Er liefert ein Geogebra-Bild mit.

2) Er ist der unangefochtene Nachlassverwalter der quadratischen Ergänzung.

3) Seine Antworten haben ums Verrecken nicht das Ziel, auf die wesentlichen Probleme der Fragesteller einzugehen.

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\(f(x)=4x^4-28x^2+49\)

\(f'(x)=16x^3-56x\)

\(16x^3-56x=0\)

\(2x^3-7x=0\)

Satz vom Nullprodukt:

\(x(2x^2-7)=0\)

\(x_1=0\)     \(f(0)=49\)

\(2x^2=7\)

\(x^2=\frac{7}{2}\)

\(x_2=\sqrt{\frac{7}{2}}\)  

\(x_3=-\sqrt{\frac{7}{2}}\)

\(x^2=3,5\) eingesetzt in  \(4x^4-28x^2+49\) gibt:

\(4 \cdot 3,5^2-28 \cdot 3,5 +49=0\)

Da nun \(f(x)=4x^4-28x^2+49\)  symmetrisch zur y-Achse ist, haben wir sowohl bei  \(x_2=\sqrt{\frac{7}{2}}\) als auch bei \(x_3=-\sqrt{\frac{7}{2}}\) eine doppelte Nullstelle.

Dies alles zeigt, dass es möglich ist über Extremwerte auch zu Nullstellen zu kommen.(Leider ist der Weg nicht immer möglich.)

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(Leider ist der Weg nicht immer möglich.)

Und in der Regel um einiges aufwändiger.