Question

Sei a ∈ R. Wir betrachten das folgende Gleichungssystem:

$$ 5 x_1 − x_2 + (a−3) x_3 = 2 \\10 x_1 − 2 x_2 + (a−3) x_3 = 4 \\5 x_1 + a x_2 − (a−3) x_3 = a−3 $$

Bestimmen Sie die Lösung , falls sie existiert.

Answer 1

Die Zeilenstufenform lautet

$$   \begin{pmatrix}  5 & -1 & a-3 & 2 \\ 0 & a+1 & -2(a-3) & a-5 \\ 0 & 0& -(a-3) & 0 \end{pmatrix} $$
Daraus sieht man, dass man Fallunterscheidungen für \( a = 3 \) und \( a = -1 \) machen muss.

Fall (1)
Für \( a \ne 3 \) und \( a \ne -1 \) folgt
$$  x = \frac{3}{5} \frac{a-1}{a+1} \\ y = \frac{a-5}{a+1} \\ z = 0$$

Fall (2)
Für \( a = 3 \) folgt \( z \in \mathbb{R} \) , \( y = -\frac{1}{2} \) und \( z = \frac{3}{10} \)

Fall(3)
Und für \( a = -1 \) folgt
\( z = 0 \) , \( y \in \mathbb{R} \) und \( x = \frac{2+y}{5} \)