Einheit unter dem Bruchstrich: hoch (-1)

Question

wie ich gestern gelernt habe steht das 1^-1 (hoch minus eins) für die Einheit unter einem Bruchstrich. Siehe Rechnen mit sehr großen Zahlen: Gibt es einen besseren Weg?

Ich verstehe nicht genau den Zusammenhang und habe nun schon eine lange Zeit im Internet gesucht. Doch ich finde nichts wo man es an Beispielen zeigt was das genau bedeutet.. kann mir einer hier ein wenig behilflich sein bei der Auflösung des Problems?

Comments

Siehe auch Videos zu Potenzen.

Answer 1

Das ist quasi eine Erweiterung der Potenz.

Normalerweise benutzt man Potenzen, um viele Multiplikationen kurz darzustellen, z.B.

2⁴ = 2*2*2*2

3³ = 3*3*3

und so weiter.

Jetzt erkennt man relativ schnell, dass sich diese Potenzen nach gewissen Regeln verhalten.

Multipliziert man zwei Potenzen mit der gleichen Basis, dann kann man die Exponenten addieren:

2² * 2³ = (2*2) * (2*2*2) = 2*2*2*2*2 = 2⁵ = 2²⁺³

Treibt man das ein bisschen weiter, dann erkennt man, dass man zwei Potenzen dividieren kann, indem man den zweiten Exponenten vom ersten abzieht:

3⁴/3³ = (3*3*3*3)/(3*3*3) = 3 = 3¹ = 3^4-3

Was passiert jetzt aber, wenn der zweite Exponent höher ist, als der erste? Verallgemeinert man einfach das Gesetz, dann müsste das z.B. lauten:

5²/5⁴ = (5*5)/(5*5*5*5) = 1/(5*5) = 1/(5²)

Nach dem Gesetz ist das das gleiche wie: 5^2-4 = 5^-2

Damit das Gesetz Gültigkeit behält, definiert man die negativen Exponenten einfach so:

x^-a = 1/(x^a)

Und das kann man nun nicht nur mit Zahlen machen, sondern auch mit Einheiten (in vielen Fällen verhalten sich Einheiten genauso wie z.B. Variablen).

Das heißt z.B.:

m/s = m*s^-1

m/s² = m*s^-2

J/kg = J*kg^-1

und so weiter.