Winkel zwischen 2 Raumdiagonalen im Würfel

Question

Wie groß ist der Winkel zwischen 2 Raumdiagonalen?

Answer 1

Ursprüngliche Antwort unten: Mit rechtwinkligen Dreieck im Bild

 

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Hi,

Bestimme die Länge einer Raumdiagonalen (Geht ja über d=√(a^2+a^2+a^2)=a√3).

Wenn Du jetzt die halbe Diagonale nimmst, hast Du den Schnittpunkt der beiden Diagonalen. Das ergibt dann ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Winkel sich leicht mit Cosinussatz berechnen lässt.

a^2=2(d/2)^2(1-cos(γ))


Dabei ist a die Grundseite, also Kantenlänge des Würfels.

Das nur noch auflösen/einsetzen.


Reicht das?


Grüße

Comments

ich versteh die 2.formel nicht

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Das ist die Formel um den Winkel zwischen den zwei Schenkel zu berechnen.

Eine vereinfachte Form des Cosinussatzes. Dieser ist bekannt? ;)

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vielleicht ist es mir bekannt. wie geht es mit dem einsetzten

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Der Cosinussatz lautet allgemein:

c^2=a^2+b^2-2ab*cos(γ)

Nun sind wir in einem gleichschenkligen Dreieck. Also a=b

c^2=2a^2-2a^2*cos(γ)

Das ist nichts anderes als:

c^2=2a^2(1-cos(γ))

 

Das ist obige Formel, wobei ich die Variablen umbenannt hatte.

Was oben das c war ist bei uns die Kantenlänge a. Was oben das a war, ist bei uns die halbe Diagonale d, also d/2.

 

Einverstanden? Nun kann man noch d/2 durch d=√(a²+a²+a²)=a√3 ersetzen.

Dann hat man:

a^2=2(a√3)^2(1-cos(γ))

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es tut mir sooo leid aber wir haben gelernt dasss der cosinunssatz so lautet ankathte/ hypotenuse

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kannst du es mir in diesem schema erklären

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Das ist ein Spezialfall. Nämlich in einem rechtwinkligen Dreieck.

Das kann man hier auch anwenden, ist aber nochmals aufwändiger.

Ich kann mal schauen, dass ich das auf Blatt Papier bringe, braucht aber seine Zeit ;).

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wäre lieb.. man kann das dreich doch in der mitte teilen.. also als tipp

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Yup, Deinen Tipp habe ich befolgt.

Ging schneller als ich dachte. Ich denke ich habe alles benannt. Schau mal rein:

 

Du siehst -> unabhängig von der Kantenlänge des Würfels.

 

Falls noch was offen ist -> ich bin kurz essen und beantworte daraufhin Deine Fragen :).

 

Grüße

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zwei fragen: versteh gar nichf wie du auf wurzel von 3 / 2 kommst und du hast jetzt a= 1 cm genommen?

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Im ersten Beitrag hatten wir doch d errechnet -> d=a√3 errechnet. Nun ist f=d/2 ;)


Und wo habe ich a=1 angenommen? Wenn Du im arcsin meinst -> Dort habe ich a/2 gekürzt. Du findest nämlich a/2 sowohl im Zähler als auch im Nenner ;).

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sagen wir mal a= 5 cm was bedeutet das denn?

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Es macht keinen Unterschied, ob a=1 cm hat oder a=5 cm ;).

Der Schnittwinkel der Raumdiagonalen ist davon unabhängig.


Probier es selbst. Du hast sicher einen Spielwürfel daheim. Denke Dir die Diagonalen. In etwa solltest Du abschätzen können, dass das mit dem errechnenten Wert übereinstimmt.
Dann nimm einen Rubik's Zauberwürfel (welcher Haushalt hat den nicht?^^). Der ist sicher größer als Dein Spielwürfel und dennoch -> Der Schnitt der Raumdiagonalen passiert im gleichen Winkel.

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asooo gut erklärt

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Unknown hat hier den Nebenwinkel berechnet. Der in der Skizze markierte Winkel ergibt sich daher aus 180 - 70.53 = 109.47 Grad.

Man kommt auf eine genaue Lösung von

α = arccos(-1/3) = 109.4712206

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Ah stimmt,

hatte nur auf den Titel geachtet und da ist zumeist der kleinere der Winkel gemeint.

Danke Dir ;).

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ich versteh das jetzt nicht was ist jetzt mit dem 109°

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Wie Du oben in meinem Bild erkennst, hatte ich den Winkel zwischen der Oberkante und den beiden Diagonalen berechnet. In Deiner Sizze lässt aber vermuten, dass der Winkel zwischen den beiden Diagonalen und der Seitendiagonalen (bzw. Raumdiagonalen) gemeint ist.


Soweit ich das kenne, ist der kleinere Winkel der üblichere ;).

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welche antwort ist richtig

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wie rechnet man das aus

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@Neethan:

Wenn 2 Geraden nicht gerade rechtwinklig aufeinander stehen, entstehen am Schnittpunkt 4 Winkel, von denen die sich gegenüberliegenden gleich gross sind.

Da ein gestreckter Winkel 180° misst, kannst du den einen Winkel aus dem andern berechnen, indem du 180° minus den andern rechnest.
Wenn man fragt, unter welchem Winkel sich 2 Geraden schneiden und keine Skizze vorliegt, solltest du jeweils den kleineren der beiden Winkel angeben.

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wie rechnet man das denn aus?

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bin jetzt verwirrt kann mir jemand einen ausführluchen rechenweg zeigen

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@Neethan: An den beiden bereits vorgeführten Rechnungen ändert sich nichts.

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also hat unknown recht? warum sagt mathecoach ein anderes ergebnis

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Meine Rechnung ist richtig.

Normal wird der kleinere Winkel genommen um die Schnittwinkel zu benennen. In Deiner Skizze ist aber der größere Winkel eingezeichnet. Nur dies hatte Mathecoach angemerkt.