Winkel zwischen den Raumdiagonalen im Würfel?

Question

Aufgabe:

a) In einem Würfel bilden die Raumdiagonale e und f den Winkel ε. Wie groß ist ε bei einer Kantenlänge von 6 cm? 

b) Berechne ε für einen belieben Würfel mit der Seitenlänge a.

Answer 1

TAN(ε/2) = (1/2·a) / (1/2·√(a^2 + a^2)) = √2/2

ε = 2·ATAN(√2/2) = 70.53°

Answer 2

Wenn du es dir einzeichnest, bzw. die Abbildung betrachtest, fällt auf, dass die Raumdiagonalen ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

Comments

Ja es sind 90* hab es schon verstanden

Answer 3

  Den Winkel bestimmst du über das Skalarprodukt. Der  Vektor e

      e  =  (  1  |  1  |  1  )       (  1a  )

    Für den Winkel zu berechnen, benötigst du den Einheitsvektor; Normierung von ( 1a ) über den Pythagoras

     e  '  =  ( 3 ^ - 1/2 )    (  1  |  1  |  1  )      (  1b  )

  entsprechend f

    f  =  ( 3 ^ - 1/2 )    (  -  1  |  1  |  1  )      (  2a  )

     ( Die Nebendiagonale geht auch von Vorne nach Hinten und von Unten nach Oben - allerdings von Rechts nach Links .

   Skalarprodukt

 < e ' | f > = cos ( ß ) = ( 1/3 ) [ 1 * ( - 1 ) + 1 * 1 + 1 * 1 ] = 1/3   (  2b  )

Comments

Wenn ich mir die Buchseite ansehe denke ich nicht das das analytische Geometrie ist sondern recht einfache Trigonometrie.

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  Vielleicht bist du ja schlauer wie ich. Ich sehe nicht, wie hier etwas andreas rauskommen könnte als das von mir ermittelte Skalarprodukt.

Answer 4

Du kannst es auch so machen. Die Hälfte der Strecke der Raumdiagonale e wird wie folgt bestimmt:$$ \frac{e}{2}=\frac{6 \cdot \sqrt[]{3}}{2}=3\sqrt[]{3} \approx 5.196cm$$ Das ist jetzt ein Schenkel des Dreiecks mit dem Winkel Epsilon.Die  Raumdiagonale e entspricht der Raumdiagonle f. Wir gehen von dieser Beschriftung des Dreiecks aus: (γ=ε), c=6cm und a=5.196cm

$$ ε=2 \cdot arcsin\left(\frac{c}{2a}\right) $$ Einsetzen:$$ε=2 \cdot arcsin\left(\frac{6}{2 \cdot 3\sqrt[]{3}}\right)\approx 70.53° $$