Der Zähler \(z\) eines Bruchs
$$\frac{z}{n}$$
.. ist um 7 größer als sein Nenner \(n\).
$$z=n+7$$
Vergrößert man den Zähler und den Nenner um 8,
$$\frac{z+8}{n+8}$$
... so wird der Bruch um 1/10 kleiner als der ursprüngliche Bruch.
$$\frac{z+8}{n+8} = \frac{z}{n} - \frac{1}{10}$$
Einsetzen von \(z=n+7\) ergibt
$$\frac{n+7+8}{n+8} = \frac{n+7}{n} - \frac{1}{10}$$
auf den Hauptnenner \(10n(n+8)\) bringen
$$(n+15) \cdot 10n = (n+7) \cdot 10(n+8) - n(n+8)$$
ausmultiplizieren
$$10n^2+150n=10n^2+80n + 70n + 560 - n^2 - 8n$$
$$n^2+8n-560=0$$
pq-Formel
$$n_{1,2}=-4 \pm \sqrt(16 + 560)=-4 \pm 24$$
Die beiden Lösungen sind \(n_1=20\) und \(n_2=-28\). Macht man die Probe für \(n_1\) so heißt der Bruch \(\frac{27}{20}\). Der vergrößerte Bruch ist
$$\frac{27+8}{20+8}=\frac{35}{28}=\frac{5}{4}$$ und dies ist identisch, wenn man von ursprünglichen Bruch \(\frac{1}{10}\) abzieht
$$\frac{27}{20}-\frac{1}{10}=\frac{27}{20}-\frac{2}{20}=\frac{25}{20}=\frac{5}{4}$$
Probe für \(n_2\) - der Bruch wäre \(\frac{-21}{-28}\): $$\frac{-21+8}{-28+8}=\frac{13}{20}$$
$$\frac{-21}{-28}-\frac{1}{10}=\frac{3}{4}-\frac{1}{10}=\frac{15}{20}-\frac{2}{20}=\frac{13}{20}$$
die zweite Lösung ist genauso richtig.
Gruß Werner
