Wie lautet der Ursprüngliche Bruch?

Question

Der Zähler eines Bruches ist um 7 größer als sein Nenner. Vergrößert man den Zähler und den Nenner um 8, so wird der Bruch um 1/10 kleiner als der ursprüngliche Bruch. WIn heißen der Zähler und der Nenner des Bruches?

Answer 1

Der Zähler $z$ eines Bruchs

$$\frac{z}{n}$$

.. ist um 7 größer als sein Nenner $n$.

$$z=n+7$$

Vergrößert man den Zähler und den Nenner um 8,

$$\frac{z+8}{n+8}$$

... so wird der Bruch um 1/10 kleiner als der ursprüngliche Bruch.

$$\frac{z+8}{n+8} = \frac{z}{n} - \frac{1}{10}$$

Einsetzen von $z=n+7$ ergibt

$$\frac{n+7+8}{n+8} = \frac{n+7}{n} - \frac{1}{10}$$

auf den Hauptnenner $10n(n+8)$ bringen

$$(n+15) \cdot 10n = (n+7) \cdot 10(n+8) - n(n+8)$$

ausmultiplizieren

$$10n^2+150n=10n^2+80n + 70n + 560 - n^2 - 8n$$

$$n^2+8n-560=0$$

pq-Formel

$$n_{1,2}=-4 \pm \sqrt(16 + 560)=-4 \pm 24$$

Die beiden Lösungen sind $n_1=20$ und $n_2=-28$. Macht man die Probe für $n_1$ so heißt der Bruch $\frac{27}{20}$. Der vergrößerte Bruch ist

$$\frac{27+8}{20+8}=\frac{35}{28}=\frac{5}{4}$$ und dies ist identisch, wenn man von ursprünglichen Bruch $\frac{1}{10}$ abzieht

$$\frac{27}{20}-\frac{1}{10}=\frac{27}{20}-\frac{2}{20}=\frac{25}{20}=\frac{5}{4}$$

Probe für $n_2$ - der Bruch wäre $\frac{-21}{-28}$: $$\frac{-21+8}{-28+8}=\frac{13}{20}$$

$$\frac{-21}{-28}-\frac{1}{10}=\frac{3}{4}-\frac{1}{10}=\frac{15}{20}-\frac{2}{20}=\frac{13}{20}$$

die zweite Lösung ist genauso richtig.

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank, sie haben gerade unseren Abend gerettet :)

Wir haben das genau so wie MS1996 verstanden und ewigkeiten gegrübelt :)

Answer 2

Hier hast du die Lösung. Jetzt einfach nach x auflösen