Behauptung: Ist eine Funktion f : R → R an einer Stelle a ∈ R stetig, so gibt
es ein δ > 0, so dass f auf ]a-δ, a+δ[ stetig ist.
Beweisversuch: Gemäß ε-δ-Charakterisierung der Stetigkeit gibt es zu jedem ε > 0
ein δ > 0, so dass für x ∈ ]a-δ, a+δ[ gilt:
|f(x) f(a)| <ε/2. Für x_0, x ∈ ]a δ, a+δ[ folgt per Dreiecksungleichung |f(x) f(x_0)| ≤ |f(x)- f(a)| + |f(x_0)-f(a)| <ε/2 + ε/2 =ε
Also gilt |f(x)-f(x_0)| < ε bei festem x_0 ∈ ]a δ, a+δ[ für alle x ∈ ]x_0 - δ_0,x_0 + δ_0[ mit einem ausreichend kleinen δ_0 > 0. Wegen der Beliebigkeit von ε > 0 ist f somit an jeder Stelle x_0 ∈ ]a δ, a+δ[ stetig.
Die Aufgabe ist in diesem Beweisversuch die Fehler zu finden, zustimmen ob die Behauptung überhaupt gilt. Wenn nicht, dann sollen wir die Behauptung mit einem Gegenbeispiel widerlegen und wenn sie gilt, sollen wir sie beweisen.
Zur Lösung der Aufgabe:Bisher habe ich nur zwei Fehler gefunden, dass die Dreiecksungleichung falsch umgesetzt wurde, denn es müsste |f(x) -f(a)|-|f(x_0)+f(a)| heißen und das die Intervalle nicht offen sind, sondern geschlossen sein müssten.
Ich bräuchte noch Hilfe bei der Bestimmung der anderen Fehler und ob die Behauptung überhaupt gilt.
