Sei I⊂ℝ ein Intervall und f:I→ℝ stetig und beschränkt, also M≥|f(x)| für alle x∈ I.
Zeige:
Dann ist inf f(I), sup f(I) ⊂ f(I) und f(I) somit ein Intervall. Warum eigentlich, wieso sollte f(I) kein Intervall sein?
Also:
Gegeben ist die Funktion, welche beschränkt ist und somit, wie jede beschränkte Menge(in diesem Fall, die Menge der Funktionswerte) in ℝ ein Supremum und Infimum besitzt.
Sei supf(I) und inf f(I) also gegeben, ja und weiter komme ich aktuell nicht...
Wenn ich zeigen könnte, dass I kompakt ist, könnte ich mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß auf ein Minimum und Maximum für f(I) schließen, dann wären supf(I) und inf f(I) ja in f(I) enthalten und die Aussage bewiesen.