Vollständige Induktion: Summe von ungeraden Zahlen ist Quadratzahl beweisen.

Question

Hallo ich habe seit gestern angefangen Induktionen zu Üben und zu Verstehen. Hier ist eine Aufgabe von einer der Übungsblätter von der Uni. Ist es möglich den letzten Schritt der Braun markiert ist so zusammenzufassen wie die Induktionsbehauptung (Ebenfalls braun markiert) ? Wenn ja wie ? Stimmt das Ergebnis bzw. die Behauptung auch für diese Induktion ?

Gruß

Salva

img027.pdf (0,6 MB)

EDIT: Aus dem gedrehten pdf zwei png Dateien gemacht und oben eingefügt.

Answer 1

Da ist noch so einiges faul:

Es ist zunächst mal A(n+1) die Aussage 

 $$\sum_{i=1}^{n+1}{2i-1} = (n+1)^2 $$Die Ind. vor. ist richtig.

Für den Nachweis machst du

 $$\sum_{i=1}^{n+1}{2i-1}= \sum_{i=1}^{n}{2i-1} + 2(n+1)-1$$Also die ganze Summe ist alles ohne den letzten Summanden,

es geht also nur bis n statt bis n+1 und der letzte

Summand entsteht, wenn du statt i das n+1 einsetzt.

Dann nimmst du für die Summe bis n das Erg. der Ind.vor, also n² und hast

=n²   + 2(n+1)-1 

=n²   + 2n+ 2 -1 

=n²   + 2n +1    Und nach der 1. binomi. Fo. ist das

tatsächlich = (n+1)²  .  q.e.d.

Comments

Okay danke ! Sieht sehr verständlich aus rechne die Aufgabe nochmal morgen nach. Danke nochmal ! Wusste nicht ob ich n+1 für n^2 einsetze. Bin auch noch nicht so sicher mit dem Umformen von den Aufgaben aber das wird schon..

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Na dann wünsche ich einen guten Erfolg.