Question

Stammfunktion von gebrochen-rationaler Funktion ermitteln:

f(x) = (x^2-2x-8)/(x-1)^2

Ich bräuchte dazu die Stammfunktion.

Answer 1

$$\int\frac{x^2-2x-8}{(x-1)^2}dx\\=\int\frac{x^2-2x-8}{x^2-2x+1}dx\\⇒\text{Polynomdivision (Grad des Zählers ≥des Nenners)}\\ (x^2-2x-8):(x^2-2x+1)=1-\frac{9}{x^2-2x+1}\\ \underline{-(x^2-2x+1)}\\ \qquad\qquad\space -9\\ ⇒=\int(1-\frac{9}{x^2-2x+1})dx\\=\int 1\space dx-9 \int\frac{1}{(x-1)^2}dx\\ [(x-1)^2→\boxed{z=x-1}\\\frac{dz}{dx}=1\\dz=dx]\\ =x-9\int\frac{1}{z^2}dz\\=x-9\cdot (\frac{-1}{z})+c\\=x+9\cdot \frac{1}{z}+c\\=x+9\frac{1}{x-1}+c$$                            

Comments

soweit alles klar, wie kommst bei  (1 - 9/(x-1)² ) dx in die nächste Zeile ??

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Man teilt das Integral in 2 Teilintegrale auf.

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Nach der Aufteilung des Integrals führst du wichtige Schritte vor, was ich noch nicht ganz zu 100 %nach vollziehen kann. Wenn du dies noch mal kurz erläutern würdest, wäre echt toll.

Danke

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nochmal ausführlich:

Answer 2

f(x) = (x^2 - 2·x - 8)/(x - 1)^2

Partialbruchzerlegung bzw. hier einfache Polynomdivision

f(x) = 1 - 9/(x - 1)^2

Davon solltest du eine Stammfunktion hinbekommen

F(x) = x + 9/(x - 1)

Comments

f(x) = 1 - 9/(x - 1)^2 = 1 - 9·(x - 1)^{-2}

Innere Ableitung ist 1 und damit musst du beim bilden der Stammfunktion dich nur um die äußere Stammfunktion kümmern

F(x) = x + 9·(x - 1)^{-1} = x + 9/(x - 1)

Answer 3

f(x) = (x²-2x-8)/(x-1)²

Mach einmal eine Polynomdivision

f ( x ) = 1 - [ 9 / ( x -1 )^2 ]

S ( x ) = x + [ 9 / ( x -1 ) ]

Answer 4

$$ \frac { x^2-2x-8 }{ (x-1)^2 }=\frac { x^2-2x+1-9 }{ (x-1)^2 }\\=\frac { (x-1)^2-9 }{ (x-1)^2 }=1-\frac { 9 }{ (x-1)^2 } $$

Die Stammfunktion solltest du jetzt hinbekommen