Matrix und determinante

Question

könnte jemanden mir helfen.

Answer 1

Wir benutzen die Eigenschaften $$\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y \\ \sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$und bekommen folgendes:

$$A=b\begin{pmatrix}\cos a& -\sin a\\ \sin a& \cos a\end{pmatrix}$$

$$A^2=A\cdot A=b\begin{pmatrix}\cos a& -\sin a\\ \sin a& \cos a\end{pmatrix}\cdot b\begin{pmatrix}\cos a& -\sin a\\ \sin a& \cos a\end{pmatrix} \\ =b^2\begin{pmatrix}\cos a& -\sin a\\ \sin a& \cos a\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\cos a& -\sin a\\ \sin a& \cos a\end{pmatrix}=b^2\begin{pmatrix}\cos^2 a-\sin^2 a& -\cos a\sin a-\cos a\sin a\\ \sin a\cos a+\sin a\cos a& -\sin^2 a+\cos^2 a\end{pmatrix} \\ =b^2\begin{pmatrix}\cos (2a)& -2\sin a\cos a\\ 2\sin a\cos a&\cos (2a)\end{pmatrix}\\ =b^2\begin{pmatrix}\cos (2a)& -\sin (2a)\\ \sin (2a)&\cos (2a)\end{pmatrix}$$

$$A^3=A^2\cdot A=b^2\begin{pmatrix}\cos (2a)& -\sin (2a)\\ \sin (2a)&\cos (2a)\end{pmatrix}\cdot b\begin{pmatrix}\cos a& -\sin a\\ \sin a& \cos a\end{pmatrix}\\ =b^3\begin{pmatrix}\cos (2a)& -\sin (2a)\\ \sin (2a)&\cos (2a)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\cos a& -\sin a\\ \sin a& \cos a\end{pmatrix} \\ = b^3\begin{pmatrix}\cos (2a)\cos a-\sin (2a)\sin a&-\cos (2a)\sin a-\sin (2a)\cos a\\  \sin (2a)\cos a+\cos (2a)\sin a&-\sin (2a)\sin a+\cos (2a)\cos a\end{pmatrix} \\ =b^3\begin{pmatrix}\cos (3a)&-\sin (3a)\\ \sin (3a)&\cos (3a)\end{pmatrix}$$

Also für n bekommen wir : $$A^n=b^n\begin{pmatrix}\cos (na)&-\sin (na)\\ \sin (na)&\cos (na)\end{pmatrix}$$

Answer 2

vieles steht schon hier:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix

es gilt noch det (A)=b(cos(α)^2+sin(α)^2)=b

und damit det(A^n)=det(A)*det(A)*....*det(A)=b^n

A^{-1}=(COS(-α),-sin(-α)),(sin(-α),cos(-α))/b