Rang von Matrix AB ist dem Rang von A Beweis

Question

Hallo ich soll folgendes Beweisen weiß aber nicht wie ich das anstellen soll.

Folgendes ist gegeben:

Matrix A ∈ K^mxn beliebig;

Matrix B ∈ K^nxn regulär;

Zu zeigen: Der Rang von AB ist gleich Rang von A

:)

Answer 1

Du kennst sicher  für lin. Abb. von V nach W

 Rang(f) = dim(V) - dim(Kern(f)

Wenn f die lin. Abb zu A und g die zu B ist,

dann ist gof die zu A*B.

Also betrachte zunächst f : V nach W, dann hat V die dim = m und

Bild(V) also die dim = rang(A).

Und dann wird g ja bei der Hintereinanderausführung

nur auf Bild(f) angewandt und da B regulär ist, ist Kern(g) = {0} .

Also rang(A*B)  =   rang(gof) = rang ( g eingeschränkt auf Bild(f) )

= rang(f)  -  0

= rang(f)   =  rang(A) .