Zeigen Sie das v und w Basen sind und berechnen Sie die Matrix

Question

Hi, kann mir jemand bei einer der folgenden Aufgaben helfen?

a) Sei F: R^2 → R^3 die lineare Abbildung F(x₁,x₂)=(x₁+x₂,x₁-3x₂,x₁).

Seien

v= {v₁=(1,1),v₂=(0,-1)} und w={w₁=(1,1,1),w₂=(1,-2,0),w₃=(0,0,1)}.

Zeigen Sie, dass v und w Basen von R² und R^3 sind. Berechnen Sie die Matrix A_w,v(F)

b) Sei G: R^3 → R^2 die lineare Abbildung G(x₁,x₂,x₃) = (x₁+3x₃, 0,5x₁+2x₂+x₃).

Seien x={x₁=(1,1,1),x₂=(1,-2,0),x₃=(0,0,-1)} und

y={y₁=(-1,1),y₂=(0,-1)}.

Zeigen Sie dass x und y Basen von R^3 und R^2 sind. Berechnen Sie die Matrix A_y,x(G).

Answer 1

Sei F: R² → R³ die lineare Abbildung F(x₁,x₂)=(x₁+x₂,x₁-3x₂,x₁).

Seien

v= {v₁=(1,1),v₂=(0,-1)} und w={w₁=(1,1,1),w₂=(1,-2,0),w₃=(0,0,1)}.

Zeigen Sie, dass v und w Basen von R² und R³ sind.Brauchst nur zu zeigen: lin. unabh..  Weil die Anzahl


mit der Dim der Räume übereinstimmt, ist es dann je eine Basis.Berechnen Sie die Matrix A_w,v(F)  Berechne die Bilder der Basisvektoren und


stelle sie mit der Basis w dar.f(  (1;1) ) =  ( 2 ; -2  ;  1 )  =  2/3 *w1 +4/3 w2  +1/3 *w3 


Also hast du die erste Spalte der Matrix:2/3

4/3

-2/3

1/3


und die zweite bekommst du entsprechend durch das Bild des 2. Basisvektors.

Comments

Kannst Du mir noch sagen wie Du auf ( 2 ; -2  ;  1 )  =  2/3 *w1 +4/3 w2  -2/3 *w3  kommst? Also der Schritt von dem linken zu dem rechten?

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einfach ein Gl.system aufstellen:

( 2 ; -2  ;  1 )  =  x *w1 +y* w2  +z *w3  und x,y,z ausrechnen.

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Ich habe leider keine Idee wie du da auf 2/3,4/3 und -2/3 kommst.

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Jetzt habe ich es glaube ich, aber müsste der letzte nicht +1/3 sein?

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Da hast du recht. Ich korrigiere.