Frage zu Ungleichungen ! Wie geht der Prof. bei der Tabelle vor?

Question

ich nerve gefühlt dieses Board seit Tagen und schreibe auch bald eine Mathe Prüfung. Ich hab noch 10000 andere Fragen und ja.. ich leg einfach mal los...

Kann mir jemand die Rot umkringelten Schritte erklären ?

Gruß

Salva

Answer 1

(x - 5)  / [ (x - 1) * (x+3) ]  <  0

der linke Term kann sein Vorzeichen nur an der Nullstelle  x= 5 oder an einer der Definitionslücken x=1 bzw. x = -3 ( || )wechseln.

Die erste rot umrandete Tabelle stellt den Vorzeichenverlauf des linken Terms dar. Er ist genau dann negativ  ( also < 0 ), wenn die drei Faktoren x-5, x-1 und x+3  eine ungerade Anzahl von Minuszeichen als Vorzeichen haben. Um für die einzelnen Faktoren das Vorzeichen in den Intervallen ] -3 , 1 [  ,  ] 1 , 5 [  und  ] 5 , ∞ [  muss man nur aus jedem Intervall einen Wert in die Faktorterme einsetzen.

→   L  =  ] - ∞ , - 3 [  ∪  ] 1 , 5 [   

2. Ungleichung analog:

- 2 * (x+1) / x-1)  <  0

Hier hat man aber wegen des Faktors  -2  links genau dann einen negativen Wert, wenn die beiden Terme x+1 und x-1 in den entsprechenden Intervallen eine gerade Anzahl von Minuszeichen haben.

→  L =   ] - ∞ , -1 [  ∪  ] 1 , ∞ [ 

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

OK das hat schon mal geholfen was hier überhaupt gemacht wird. Ich finde den Ansatz vom Prof. gut, jedoch das Nachvollziehen dabei hapert es noch. Der Vorzeichen verlauf von (x-5) wird dargestellt das verstehe ich.

"der linke Term kann sein Vorzeichen nur an der Nullstelle  x= 5 oder an einer der Definitionslücken x=1 bzw. x = -3 ( || )wechseln." ( Ist die Definitionslücke bis zu -3 also von x = 1 bis zu x = -3 ?)

Zum Zitat -> Erklärt "für mich" in der Tabele wie die Reihe für x aufgebaut wird. (Neben dem Vorzeichen verlauf) Jedoch verstehe ich noch nicht ganz wieso bei den Definitionslücken für  (x-5) das Vorzeichen sich ändert.

Wenn ich 1 einsetzte bei (x-5) habe ich (1-5) was -4 gibt und bei dem Einsetzen von -3 erhält man -8.

Was ich nicht ganz verstehe, ist wie man auf die Definitionslücken kommt. Sie sind ja ausschlaggebend dafür  wie man die Tabelle gestaltet.

..." eine ungerade Anzahl von Minuszeichen als Vorzeichen haben" Damit ist gemeint das wenn ich die Tabelle Vertikal für jede Spalte untersuche. Bekomme ich ein minus. Bzw. definiere ich den Bereich "vor"(visuell hinter) -3 als ja.. ein Minus. Wenn die Anzahl der Minuszeichen ungerade ist. Gilt diese "Regel" immer ?

Gruß Salva

---

> Was ich nicht ganz verstehe, ist wie man auf die Definitionslücken kommt. Sie sind ja ausschlaggebend dafür  wie man die Tabelle gestaltet.

Die Definitionslücken sind die x-Werte, für die der Nenner  (x-1) * (x+3)  Null wird, also x=1 und x=-3 

Dein letzter Absatz ist schwer verständlich, aber:

Ja, die von mir angegebene Regel über die Anzahl der Minuszeichen hinter den Faktoren in einer Spalte gilt immer.

 ( z.B. 3 x -  in Spalte 1  →  linker Term der Ungleichung ist in ] -∞ , -3 [  negativ )

Answer 2

Was es mit der rot umrandeten Tabelle auf sich hat
weiß ich leider auch nicht

Meine Vorgehensweise

( x - 5 ) / [ ( x-1 ) * ( x + 3 ) ] < 0

ich würde jetzt mit dem Nenner multiplizieren
Ist der Nenner positiv bleibt das Relationszeichen
bestehen.  Die Aussage verkürzt sich zu
x - 5 < 0 oder x < 5

Der Nenner wird positiv falls
- beide Faktoren positiv sind
x -1 > 0  => x > 1
x + 3 > 0  => x > -3
Schnittmenge x > 1
Ausgangsvoraussetzung x < 5
Zusammen
1< x < 5

- beide Faktoren negativ sind
x -1 < 0  => x < 1
x + 3 < 0  => x < -3
Schnittmenge x < -3
Ausgangsvoraussetzung x < 5
Zusammen
- ∞ < x < - 3

Soviel hierzu.

Comments

Mir erscheint die ganze Rumrechnerei deines Profs
reichlich umständlich.

b.)
( x^2 - 2x -3 ) / ( x -1 ) < x + 1

1. Fall
x -1 > 0  => x > 1

( x^2 - 2x -3 ) < ( x -1 ) * (  x + 1)
x^2 - 2x -3  < x^2 - 1
-2x < 2
x > -1
Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x > 1 ) und ( x > -1 ) ergibt sich
x > 1

2. Fall
x -1 < 0  => x < 1

( x^2 - 2x -3 ) > ( x -1 ) * (  x + 1)
x^2 - 2x -3  > x^2 - 1
-2x > 2
x < -1
Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x < 1 ) und ( x < -1 ) ergibt sich
x < -1

Lösung
x > 1 und x < -1

Umgestellt
( x^2 - 2x -3 ) / ( x -1 ) < x + 1
zu
( x^2 - 2x -3 ) / ( x -1 ) - ( x + 1 ) < 0
Alles unterhalb der x-Achse gehört zur Lösungsmenge.
mfg