Was ist die Vereinigungsmenge? A ∪ B := { x / x ∈ A oder x ∈ B }

Question

Hallo an Alle!

Ich bin neu hier und habe ein für die Meisten sicherlich recht einfaches Problem:

Ich zerbreche mir den Kopf über die Definition der Vereinigungsmenge:

"Die Vereinigungsmenge A ∪ B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B oder zu beiden Mengen gehören:

A ∪ B = { x / x ∈ A oder x ∈ B } "

(Hier eine Definition von Lothar Papula aus "Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler"; Band 1; 12. Auflage aus dem Jahre 2009)

Wenn ich eine Schüssel mit guten und eine mit schlechten Erbsen zusammen schütte, dann besteht doch die vereinigte Menge aus den guten und den schlechten Erbsen und nicht aus den guten oder den schlechten Erbsen.

Wo ist mein Denkfehler?

Herzlichen Dank für alle Antworten!

Gruß Pat.

Comments

Mir liegt das Buch von Papula auch vor. Das Ganze muß auch sprachlich einwandfrei
definiert werden.

" Schnittmenge " : Die Menge an Elementen die sowohl in der Menge A  und  in der
Menge B vorkommen.  " sowohl..als auch " in beiden Mengen. In der Boolschen Algebra
dargestellt.

A   B  Schnittmenge

0  0    0
1  0    0
0  1    0
1  1    1

" Vereinigungsmenge " : Die Menge an Elementen die in der Menge A oder Menge B vorkommen
oder in beiden. ( Damit das erste " oder " nicht den Sinn von
" entweder oder " hat, was sprachlich auch zutreffen könnte,
wurde erweitert mit " oder in beiden ".
Ein sprachliches " Alle Elemente aus Menge A und Menge B " könnte
auch als Menge an Elementen missverstanden werden die der Menge A
und B gemeinsam sind ( Schnittmenge ).  Die Boolsche Algebra zeigt es einfacher

A   B  Vereinigungsmenge

0  0    0
1  0    1
0  1    1
1  1    1

mfg Georg

Answer 1

A ∪ B = { x / x ∈ A oder x ∈ B } "

(Hier eine Definition von Lothar Papula aus "Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler"; Band 1; 12. Auflage aus dem Jahre 2009)

Wenn ich eine Schüssel mit guten und eine mit schlechten Erbsen zusammen schütte, dann besteht doch die vereinigte Menge aus den guten und den schlechten Erbsen und nicht aus den guten oder den schlechten Erbsen.

A ∪ B = { x / x ∈ A oder x ∈ B } 

ist du lesen als 

'Die Vereinigungsmenge aus A und B besteht aus der Menge aller x, für die gilt: x ist ein Element von A oder x ist ein Element von B'

'Die Vereinigungsmenge aus einer Menge guter Erbsen und einer Menge schlechter Erbsen besteht aus der Menge aller x, für die gilt: x ist ein Element von von den guten Erbsen oder x ist ein Element von schlechten Erbsen.'

Also: Wenn etwas zur Menge der guten oder zur Menge der schlechten Erbsen gehört, gehört es zur Vereinigungsmenge der guten und schlechten Erbsen.

Umgangssprachlich liest man links ein 'und' und rechts mit 'oder.'

Comments

Vielen Dank an Georg und Lu für Eure Antworten!

Ich hab's jetzt so weit verstanden:

Wenn ich in die gemeinsame Schüssel der guten und der schlechten Erbsen fasse und hole eine raus, habe ich logischerweise eine Erbse, die eine gute oder  eine schlechte sein muss.

Aber laut Definition kann diese ja auch zu beiden Mengen gehören ( "...oder zu beiden Mengen gehören." ).

Das geht natürlich nicht, aber wie ist's dann zu verstehen?

Vielen Dank nochmal!

Gruß Pat.

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Nimm wieder deine Erbsenmenge als Grundmenge und definiere
A als Menge aller guten Erbsen.

und B als Menge aller grossen Erbsen (Durchmesser > 8 mm).

Nun sind nicht mehr alle Elemente deiner Grundmenge in A oder B drinn. Zudem hast du Erbsen in der Schnittmenge: A n B : die grossen, guten Erbsen.

A u B ist nun die Menge der guten oder grossen Erbsen (inklusive die die beides sind).

Die Menge der Erbsen die entweder gross oder gut sind ist dann exklusive die Schnittmenge. Formal könntest du das als (A u B) \ (A n B) beschreiben.

(A u B) \ (A n B)  zu lesen als 'Vereinigungsmenge von A und B' 'ohne' 'Schnittmenge von A und B.