Bestimmen ganzrationaler Funktionen/ Mathematische Bedingungen für Garagenauffahrt aufstellen

Question

Von einer Garage soll eine Auffahrt zur Straße angelegt werden. Der Höhenunterschied beträgt 1 m. Zwischen A und B ist eine waagerechte Stellfläche geplant. Die Auffahrt soll in B waagerecht beginnen und in D waagerecht in die Straße einmünden.

a) Stelle mathematische Bedingungen auf , um die Auffahrt mit Hilfe einer  ganzrationalen Funktion niedrigsten Grades beschreiben zu können. Bestimme auf der Grundlage deiner Überlegung den Term für die ganzrationale Übergangsfunktion.

b) Zwischen B und C beginnt 1 m vor C eine 70 cm hohe Felsplatte. Überprüfe durch Rechnung, ob die Platte überdeckt wird.

d) Entwickel ein Verfahren mit dem die steilste Stelle der Auffahrt bestimmt werden kann.

 

Danke schonmal .. !

 

Answer 1

Ich lege B in den Koordinatenursprung und modeliere die Auffahrt durch eine Funktion 3. Grades. Dabei ist die Auffahrt im Punkt B und D zwar Knickfrei aber hat einen Krümmungssprung.

Bedingungen für B

f(0) = 0
f'(0) = 0

Bedingungen für D

f(5) = 1
f'(5) = 0

Daraus folgen die Gleichungen

d = 0
c = 0
125a + 25b + 5c + d = 1
75a + 10b + c = 0

Die Lösung des LGS ist a = -0,016, b = 0,12, c = d = 0

f(x) = -0,016·x^3 + 0,12·x^2

f(4) = 0.896 --> Damit wird die Platte im ca. 19 cm überdeckt.

Die Steilste stelle ermittelt man mit dem Wendepunkt f''(x) = 0

f''(x) = 0
6/25 - 12·x/125 = 0
x = 2.5

f'(2.5) = 0.3

Damit beträgt die Steigung an der steilsten Stelle 0.3 = 30% oder arctan(0.3) = 16.7°.

Das war aber eigentlich nicht auszurechnen.