sin(a) = -0,74 wie komme ich auf das zweite ergebnis?

Question

Aufgabenstellung

Bestimme für 0°≤ α ≤ 360° die zwei Winkel für die gilt: 

b) sin α = -0.74

Im Taschenrechner gebe ich ein

sin(α) = - 0,74   I sin^-1ihi

α = -47.73

Nun weiss ich aber, dass -0.74 unter der x-Achse liegen muss. das heisst im dritten und vierten Quadranten, weiss aber nicht wie ich dann auf das richtige ergebnis komme. die Lösung im Buch sagt: 227.73, 312.27

Mein Lösungsantsatz
Habe überlegt, dass: 1. Quadrant 90°, 2. Quadrant 180°, 3. Quadrant 270°, 4. Quadrant 360°

270°-(-47.73) = 317.73 (Falsch)
270° - I-47.73I = 222.27 (Falsch)

270 - (90°-47.73) = 227.73 (Richtig !) 

Einfach durch herumprobieren, aber ich wil natürlich wissen, wie es geht, und vor allem wie ich dann auf die zweite lösung komme, und es gibt noch mehr solche Aufgaben. 

Wäre froh um jede Hilfe! Vielleicht auch ein Videotipp...

Answer 1

Allgemein : die sin -Funktion sollte ein Mathematiker
immer skizzieren können. Die cos-Funktion ebenso.

Die y-Achse geht von -1 bis 1.
Die x-Achse kann in Grad hier 0 bis 360 °
oder in 0 .. 2 * π skaliert werden.

In deiner Aufgabe zeigt dein Taschenrechner
sin ( a ) = -0.74
a = - 47.73 °
an.

Der Wert entspricht der Einteilung im Koordinatensystem
Die Gradwerte werden von der x-Achse = 0 ° gegen den
Uhrzeigersinn gezählt
0, 90, 180, 270, 360.

Man kann auch mit dem Uhrzeigersinn zählen / angeben
und erhält dann für - 47.73 ° den Wert
360 - 47.73 = 312.27 °
Dies ist der rechte rote Punkt:

Jetzt hilft die Skizze.
Die sin Funktion ist achsensymmetrisch zur Achse
bei 270 °.
Von 270 + h nach 312.27 sind es h = 42.27 °
Der linke Punkt ist bei
270 - 42.27 °  bei 227.72 °

Comments

Perfekt, vielen vielen Dank !! :) Jetzt habe ich es geschnallt ! :) Ich sollte lernen, wie ich Punkte, die ich herauskriege in das Koordinatensystem einzeichnen kann, dann kann ich es ablesen und rechnerisch lösen. 

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Perfekt, habe jetzt auch eine cosinusfunktion gemacht, es funktioniert alles, Sinus oder Cosinusfunktion einzeichnen, schnittpunkte eintragen, dann rechnerisch auflösen :)

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Die Visualisierung hilft mitunter ungemein.
Ohne diese konnte ich mir den Sachverhalt
auch nicht vorstellen.
Außerdem war es wichtig zu wissen wie die
Gradzahlen zu  verstehen sind.

mfg

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Eben dass muss ich dann als nächsten Schritt
können, in diesem Fall beide Lösungen irgendwie
als Bogenmasseinheiten angeben oder einfach
damit arbeiten.

Der Umfangsstrecke eines Kreises kann in
360 Teile aufgeteilt werden. Die Teile werden
Grad genannt.

Der Kreis hat einen Umfang von
U = 2 * π * r
r  vom Einheitskreis = 1
U = 2 * π ( Bogenmass )

Zusammenhang zwischen Grad und Bogenmass
360 / ( 2 * π ) = Grad / Bogenmass

Umrechnung Grad zu Bogenmass

Bogenmass = Grad / 360 * 2 * π

90 ° = π / 2
180 ° = π
270 ° = 3 / 2 *  π
360 ° = 2 *  π  oder 0

mfg

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Also wenn ich so vorgehe, also die Sinus oder Kosinusfunktion zeichne und danach die Schnittpunkte ablese und anhand der erhaltenen Werte den zweiten Winkel innerhalb von 360 berechne klappt es eigentlich immer. Und zwar fehlerfrei so weit...

Aber ich habe Probleme wenn es heisst, dass ich nach tan(α) = 21 suche

tan(α) = 21 I tan^-1

α = 87.27°

Die Lösung sagt: 87.27° und 267.27°

Ich kann aber weder an der Tangensfunktion so weit nach oben um die werte einzutragen denn ich gehe 1 nach oben und -1 nach unten. und hier soll ich eben 21 auf der Koorditnate eintragen um die Scnittpunkte zu sehen und daraus berechnen in dem ich die Abstände erkenne.

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Hier der Graph

Blau ist
f ( x ) = tan ( x )
Skaliert wurde
y : -25 .. +30
x : Winkel in Grad  0 bis 90.

Der Winkel für tan ( a ) = 21 ist in etwa ablesbar.
Ob du das mit deinem Plotter auch hinbekommst
weiß ich nicht.
Zur genaueren Ablesung könnte ich auch noch auf
x = 85 .. 90 skalieren.

mfg

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Ich habs so probiert scheint auch zu funktionieren, habe einfach das ergebnis von tan(21) auf die "x-Achse" abgetragen und gesehen wo das wieder der Fall ist innerhalb von 360° und habe gesehen dass kurt vor 270° der α₂ liegt bzw. 87.27° nach 180°.....  

Ich weiss nicht ob meine Art Tangesaufgaben zu lösen nachhaltig ist, also rein rechnerisch kann ich es noch nicht lösen, ich brauche immer die Grafik um die Verhältnisse zu sehen. Oder macht man so etwas normalerweise rein rechnerisch?

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Ich konnte meinen Plotter auch überreden
eine komplette Lösung zu zeichnen

Der Abstand  zwischen den Polstellen ist 180 °.
87.27 bzw. 180 + 87.27 sind die richtigen Antworten.

Mein Matheprogramm zeigt mir auch die vollständige
Antwort an
tan ( a ) = 21
a = 82.27 + k *180  ( k ∈ der ganzen Zahlen )

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Topp ! Vielen Dank Ich hatte glaube ich in diesen zwei Tagen noch nie zuvor soviel Lernertrag ! :D

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Dann hat das Forum seinen zweck erfüllt.
Falles du weitere Fragen hast dann wieder einstellen.

Answer 2

Zeichne dir mal die sin-Kurve auf und dazu die Gerade y= - 0,74. Alle Schnittpunkte der Geraden mit der sin-Kurve sind Lösungen für α.

Comments

Ich sehe überall wo die gerade y=-0.74 die sinusfunktion schneidet, bin aber nicht wirklich schlauer geworden. ich müsste jetzt alle schnittpunkte haben im Bereich innerhalb 0°-360°...

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Dein Funktionsplotter nennt Bogenmaße auf der x-Achse. Da 360° gerade 2π im Bogenmaß entsprechen, musst du den Graphen im Bereich von 0 bis 6,28 zeichnen. Die auf der x-Achse abgelesenen Stellen der Schnittpunkte müssen noch in ° umgerechnet werden.

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Hallo Roland,

Hinweis : im Graph wurde die Horizontale für
sin ( a ) = 0.74 gezeichnet.

sin ( a ) = - 0.74  ist richtig.

mfg

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Eben dass muss ich dann als nächsten Schritt können, in diesem Fall beide Lösungen irgendwie als Bogenmasseinheiten angeben oder einfach damit arbeiten. 

Answer 3

Hallo limonade,

in deinem Bild  hättest die Gerade  y = - 0,74 einzeichnen müssen. Und dann gibt der Rechner die Winkel auf der x-Achse nicht in Grad sondern im Bogenmaß aus.

Eine Gleichung  sin(x) = a   hat  [ für -1 ≤ a ≤ 1, sonst L = { } ]  immer unendlich viele Lösungen in ℝ.

Eine davon gibt dir der TR an ("Grundlösung" x₁) ,  hier x₁ = - 47,73°

Wegen sin(α) = sin(180°- α) ergibt sich eine zweite Grundlösung aus  

x₂ = 180° - x₁     ,  hier  180° -  (- 47,73°)  = 277,73°

Alle weiteren Lösungen findest du, wenn du ein (positives oder negatives) Vielfaches von 360° zu x₁ oder x₂ addierst, weil sich die Sinuswerte mit der Periode 360° wiederholen.

Deine zweite Lösung in [ 0 , 360° ]  ergibt sich deshalb aus 

- 47,73° + 360° = 312,27°

Gruß Wolfgang