Anzahl der Teiler von a und b

Question

Sei d(a) die Anzahl der Teiler von a. Zeigen sie die Gleichheit d(a*b)=d(a)*d(b) für a,b ∈ℕ mit ggT(a,b)=1.

Comments

Sei d(a) die Anzahl der Teiler von a. Zeigen sie die Gleichheit d(a*b)=d(a)*d(b) für a,b ∈ℕ mit ggT(a,b)=1.

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Sei d(a) die Anzahl der Teiler von a. Zeigen sie die Gleichheit d(a*b)=d(a)*d(b) für a,b ∈ℕ mit ggT(a,b)=1.

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EDIT: Worin besteht denn der Unterschied zu deinen früheren Fragen?

Answer 1

ich gehe davon aus, dass ihr folgenden Satz als bewiesen voraussetzen dürft:

 Im Prinzip muss Du mit der Behauptung $$d(a\cdot b)=d(a)\cdot d(b) \text{ für }a,b\in\mathbb{N}\text{ mit }ggT(a,b)=1$$ zeigen, dass die Teileranzahlfunktion multiplikativ ist. Die Teileranzahlfunktion ist definiert durch  Seien wie gefordert $$a,b\in\mathbb{N}\text{ mit } ggT(a,b)=1$$ teilerfremd. Seien außerdem  die kanonischen Primfaktorzerlegungen von a und b. Da a und b teilerfremd sind, ist  (bis auf die Primfaktorpotenzanordnung) die kanonische Primfaktorzerlegung des Produkts von a und b. Mit dem oben als bewiesen vorausgesetzten Satz folgt: Quod erat demonstrandum.
Konnte ich Dir damit weiterhelfen? Du kannst Dich bei Rückfragen gerne wieder melden!

André, savest8

Answer 2

alle Teiler von a sind auch Teiler von a*b

Da a und b teilerfremd sind, ergeben sich alle Teiler von a*b eindeutig durch Multiplikation eines Teilers von a mit einem Teiler von b.

Die Gesamtzahl der Teiler von a*b ist deshalb  d(a) * d(b).

Beispiel:

T₁₀  =  { 1, 2, 5, 10 } ,  T₉   = { 1, 3 , 9 }

T₉₀ = { 1*1, 1*3, 1*9, 2*1 ,2*3 , 2*9, 5*1, 5*3, 5*9, 10*1, 10*3 , 10*9 }

        = { 1, 2 ,3 , 5. 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} ,  also d( 9 * 10) = 12 = 3 * 4 = d(9) * d(10)

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

das ist auch ein guter Ansatz;-) Weniger formal, dafür schön zu lesen.