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Wie kann ich den Def.Bereich ermitteln und "beweisen", für bspw. $$ f(x):=\sqrt { x^4+x+1 } $$?

Der Def. bereich ist (glaube ich) ℝ und begründen würde ich es mit x^4+x+1≥0 für alle x, komme aber auf nichts bestätigendes durch Umformungen...  Kann mir jemand die Vorgehensweise erklären?

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\(x^4+x+1=\frac1{96}\big(15x^4+(9x^2-4)^2+8(3x+2)^2+48\big)\ge\frac12\).

2 Antworten

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du hast ja schon eine gute Vermutung.

Man kann z.B das Extremum der Funktion

g(x)=x^4+x+1 ausrechnen.

g'(x)=4x^3+1=0

x=-1/4^{1/3}

g''(x)=12x^2>=0

--> Minimum


g(-1/4^{1/3})=1-3/(4*4^{1/3})>0

Da g'(x)<0 für x<-1/4^{1/3}

und g'(x)>=0 für x>= -1/4^{1/3}

kann es keine Nullstelle geben.

Avatar von 37 k
+1 Daumen

g ( x ) = x^4 + x + 1
Für die erste Ableitung ist
g ´( x )  = 0 bei
x = -1/41/3 = -0.63

g ´´ ( x ) =12x2

12 * ( -0.63)^2 ist positiv => Tiefpunkt

g ( -0.63 ) = 0.528

T ( -0.63 | 0.528 )

Da T der einzige Extrempunkt ist und oberhalb der
x- Achse ist ist der Wurzelterm
stets positiv

D = ℝ

Avatar von 2,5 k

Da T der einzige Extrempunkt ist und oberhalb der 

x- Achse ist ist der Wurzelterm 
stets positiv
Bild Mathematik
Das reicht wohl nicht ganz

Morgen Wolfgang,

der Plot des Wurzelterns sieht bei mir so aus.

Bild Mathematik

Er ist stets oberhalb der x-Achse.

mfg

goldusilber könnte die theoretische Argumentation vervollständigen mit

lim(x->unendlich) g(x) = lim_(x-> unendlich) x4 + x + 1 = +unendlich

Nun ist wegen den obigen Rechnungen auch klar, dass

lim(x-> -unendlich) g(x) = lim_(x-> - unendlich) x4 + x + 1 = +unendlich

und der theoretische Einwand von Wolfgang aus der Welt geschafft. 

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