f(x):=√(x^4+x+1). Wie finde ich den Definitionsbereich heraus? Und wie kann ich ihn beweisen?

Question

Wie kann ich den Def.Bereich ermitteln und "beweisen", für bspw. $$ f(x):=\sqrt { x^4+x+1 } $$?

Der Def. bereich ist (glaube ich) ℝ und begründen würde ich es mit x^4+x+1≥0 für alle x, komme aber auf nichts bestätigendes durch Umformungen...  Kann mir jemand die Vorgehensweise erklären?

Comments

\(x^4+x+1=\frac1{96}\big(15x^4+(9x^2-4)^2+8(3x+2)^2+48\big)\ge\frac12\).

Answer 1

du hast ja schon eine gute Vermutung.

Man kann z.B das Extremum der Funktion

g(x)=x^4+x+1 ausrechnen.

g'(x)=4x^3+1=0

x=-1/4^{1/3}

g''(x)=12x^2>=0 

--> Minimum

g(-1/4^{1/3})=1-3/(4*4^{1/3})>0

Da g'(x)<0 für x<-1/4^{1/3}

und g'(x)>=0 für x>= -1/4^{1/3}

kann es keine Nullstelle geben. 

Answer 2

g ( x ) = x^4 + x + 1
Für die erste Ableitung ist
g ´( x )  = 0 bei
x = -1/4^1/3 = -0.63

g ´´ ( x ) =12x²

12 * ( -0.63)^2 ist positiv => Tiefpunkt

g ( -0.63 ) = 0.528

T ( -0.63 | 0.528 )

Da T der einzige Extrempunkt ist und oberhalb der
x- Achse ist ist der Wurzelterm
stets positiv

D = ℝ

Comments

> Da T der einzige Extrempunkt ist und oberhalb der 

x- Achse ist ist der Wurzelterm 
stets positiv
Das reicht wohl nicht ganz

---

Morgen Wolfgang,

der Plot des Wurzelterns sieht bei mir so aus.

Er ist stets oberhalb der x-Achse.

mfg

---

goldusilber könnte die theoretische Argumentation vervollständigen mit

lim(x->unendlich) g(x) = lim_(x-> unendlich) x⁴ + x + 1 = +unendlich

Nun ist wegen den obigen Rechnungen auch klar, dass

lim(x-> -unendlich) g(x) = lim_(x-> - unendlich) x⁴ + x + 1 = +unendlich

und der theoretische Einwand von Wolfgang aus der Welt geschafft.