gleichung lösung z^4=16i

Question

Ich sitze gerade fest bei der Gleichung. Hab zwar die Lösung gegeben, aber ich verstehe nicht, wie man darauf kommt.

Hab den Betrag von z bestimmt, also 16.

Dann wollte ich den tangens machen, also Im/Re, aber durch 0 geht ja nicht

2e^i*(Pi/8), 2e^i*(9Pi/8), 2e^i*(5Pi/8), 2e^i*(13Pi/8),

Comments

Ich habe den Betrag von z bestimmt, also 16? Was hast du getan?

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Also ich hab z=Wurzel aus 0^2+16^2=16 gemacht

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Das ist der Betrag von z^4.

Answer 1

Hallo Like,

ich habe dazu mal eine allgemeine Anleitung getippt, wie man so etwas macht:

 Lösung der komplexen Gleichung  zⁿ = w     [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]           

                         bei dir n=4,  w = 16i , also a=0 ; b=16

w hat dann eine der Formen  w  =  a + i · b  = r · e^i ·φ  =  r · ( cos(φ) + i · sin(φ) )

                                             [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden ].

Den Betrag  |w| = r  und das Argument φ_w  kann man dann direkt ablesen oder aus folgenden Formeln berechnen:

r = √(a² +b²)  und  φ_w = arccos(a/r) wenn b≥0  [  - arccos(a/r) wenn b<0 ] .

Die n Werte z_k  für z = ⁿ√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1

aus der Formel    z_k = ⁿ√r · [ (cos( (φ_w + k · 2π) / n ) + i · sin( (φ_w + k · 2π) / n ) ] 

[ Die Eulersche Form ist  jeweils  z_k =  ⁿ√r · e^{i·(φw+k·2π)/n} ]

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Kontrolllösung:

z = - √(2 - √2) + i·√(√2 + 2)   ∨   z = √(2 - √2) - i·√(√2 + 2) 

 ∨   z = - √(√2 + 2) - i√(2 - √2)   ∨   z = √(√2 + 2) + i·√(2 - √2)

Gruß Wolfgang

Answer 2

Habe mich geirrt (das i übersehen). Also Lösungsvorschlag gelöscht.

Comments

Du hast im ersten Schritt \(i\) verloren!

Answer 3

Für so etwas gibt es die allgemeine Formel :

z^n = a

=> z = n-te Wurzel (|a|) * ( cos( (arg(a)+2k*Pi)/2)+ i sin( (arg(a)+2kPi)/2)

Für k =0,1....n-1

Comments

In deinem Fall wäre das Argument pi/4.  Und in deiner Lösung wurde das ganze noch als in Form e^I aufgeschrieben,  was äquivalent ist zu meiner Form.

Answer 4

Du kannst Dich hieran orientieren , das geht ähnlich.

https://www.mathelounge.de/418763/z-4-1-losen-und-darstellen#a418772