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Ich habe hier eine Aufgabe zu lösen, ich verstehe hier aber gar nichts. Kann mir hier jemand helfen, wie man das ausrechnet?

Vielen vielen Dank für die Hilfe!!Bild Mathematik

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Wenn n gegen Unendlich geht, ist der Grenzwert g=22. Zu zeigen ist I22-15/n - 22I<1/103 oder 1/n<15/103 und dann 15000<n. ab N=15001 gilt die Ungleichung.

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1/n<15/103 

⇔ n > 200/3 ⇔ n > 66 2/3 ⇔n∈ℕ  →  N = 67

Nachtrag:

Es muss aber  1/n < 1/(15·103)  →   N > 15000  heißen   

Das kleinste  N ist dann 15001   

@ Roland :

Ab N = 20000 gilt die Ungleichung.

>  Ab   N = 20000 gilt die Ungleichung. 

Das Wort  "Ab"  trifft es wohl nicht so richtig (zumindest ist sehr missverstänglich) :-)

Und wie das zutrifft !

Falsch wäre gewesen, hätte ich stattdessen "nur für" oder "bis zu" oder "außer für" geschrieben.

@ -Wolfgang :
Trotz deiner Änderung ist dein Beitrag (in zweifacher Hinsicht) falsch.

@ Wolfgang: Mit deinem Nachtrag hast du recht. Ich habe mich vertippt. Meine Lösung stimmt dann eigenartigerweise plötzlich wieder mit deiner richtigen überein.

@ Gast hj2166

Das träfe zu, wenn ich die Frage beantwortet hätte. Ich habe aber nur die Rechnung in Rolands Antwort kommentiert.

Aber du hast natürlich recht:

Es muss     I 22+15/(4n) - 22 I < 1/103  ⇔n∈ℕ  n > 3750  heißen.

Und deshalb hast du dann im Folgenden nicht recht.: 

Sicher ist:  Deine Aussage "Ab  N = 20000 gilt die Ungleichung" ist  "zumindest sehr missverständlich".

Überlassen wir das Urteil darüber einfach der Nachwelt :-)

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@ Roland

Leider hatte ich nur auf deine Antwort und nicht auf die Frage geachtet und deinen oben rot (in blau) markierten Flüchtigkeitsfehler übernommen.

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damit du das noch einmal richtig hast:

15/(4n) → 0  für n → ∞ ,

.Deshalb kann der Grenzwert  der Folge an = 22 + 15/(4n)   eigentlich nur g = 22 sein.

Für den formalen Nachweis gemäß der Grenzwertdefinition musst du zeigen:

Für jedes ε ∈ ℝ+ gibt es N(ε) ∈ ℕ, so dass für alle Folgengliednummern n > N(ε)   gilt:                | an - g | < ε

⇔  | 22 + 15/(4n) - 22 | < ε   ⇔  15/(4n) < ε   ⇔  n  > 3,75 / ε

Man kann also eine beliebige natürliche Zahl N(ε) wählen, die größer als 3,75 / ε  ist.

Mit  ε = 1/103 ergibt sich N ≥ 3,75 / 0,001 = 3750.

Man kann also für N jede natürliche Zahl nehmen, die 3750 ist,                                                     die kleinste ist   N = 3750         (Edit n.Kommentar) 

Gruß Wolfgang

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Gilt die Aussage nicht auch schon für N = 3750 ?

Die Aussage | an - 22 | < 1/103 nicht,  aber wegen n > N kann man das kleinste N = 3750 nehmen. Danke für den Hinweis.

Das umständliche Hantieren mit der natürlichen Zahl N(∈) ist eigentlich sowieso Unsinn (das hat wohl historische Gründe). Eine reelle Zahl X(ε) würde es auch tun.

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