Wie rechnet man hier den Grenzwert aus?

Question

Ich habe hier eine Aufgabe zu lösen, ich verstehe hier aber gar nichts. Kann mir hier jemand helfen, wie man das ausrechnet?

Vielen vielen Dank für die Hilfe!!

Answer 1

Wenn n gegen Unendlich geht, ist der Grenzwert g=22. Zu zeigen ist I22-15/n - 22I<1/10³ oder 1/n<15/10³ und dann 15000<n. ab N=15001 gilt die Ungleichung.

Comments

> 1/n<15/10³ 

⇔ n > 200/3 ⇔ n > 66 2/3 ⇔_n∈ℕ  →  N = 67

Nachtrag:

Es muss aber  1/n < 1/(15·10³)  →   N > 15000  heißen   

Das kleinste  N ist dann 15001   

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@ Roland :

Ab N = 20000 gilt die Ungleichung.

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>  Ab   N = 20000 gilt die Ungleichung. 

Das Wort  "Ab"  trifft es wohl nicht so richtig (zumindest ist sehr missverstänglich) :-)

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Und wie das zutrifft !

Falsch wäre gewesen, hätte ich stattdessen "nur für" oder "bis zu" oder "außer für" geschrieben.

@ -Wolfgang :
Trotz deiner Änderung ist dein Beitrag (in zweifacher Hinsicht) falsch.

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@ Wolfgang: Mit deinem Nachtrag hast du recht. Ich habe mich vertippt. Meine Lösung stimmt dann eigenartigerweise plötzlich wieder mit deiner richtigen überein.

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@ Gast hj2166

Das träfe zu, wenn ich die Frage beantwortet hätte. Ich habe aber nur die Rechnung in Rolands Antwort kommentiert.

Aber du hast natürlich recht:

Es muss     I 22+15/(4n) - 22 I < 1/10³  ⇔_n∈ℕ  n > 3750  heißen.

Und deshalb hast du dann im Folgenden nicht recht.: 

Sicher ist:  Deine Aussage "Ab  N = 20000 gilt die Ungleichung" ist  "zumindest sehr missverständlich".

Überlassen wir das Urteil darüber einfach der Nachwelt :-)

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@ Roland

Leider hatte ich nur auf deine Antwort und nicht auf die Frage geachtet und deinen oben rot (in blau) markierten Flüchtigkeitsfehler übernommen.

Answer 2

damit du das noch einmal richtig hast:

15/(4n) → 0  für n → ∞ ,

.Deshalb kann der Grenzwert  der Folge a_n = 22 + 15/(4n)   eigentlich nur g = 22 sein.

Für den formalen Nachweis gemäß der Grenzwertdefinition musst du zeigen:

Für jedes ε ∈ ℝ⁺ gibt es N(ε) ∈ ℕ, so dass für alle Folgengliednummern n > N(ε)   gilt:                | a_n - g | < ε

⇔  | 22 + 15/(4n) - 22 | < ε   ⇔  15/(4n) < ε   ⇔  n  > 3,75 / ε

Man kann also eine beliebige natürliche Zahl N(ε) wählen, die größer als 3,75 / ε  ist.

Mit  ε = 1/10³ ergibt sich N ≥ 3,75 / 0,001 = 3750.

Man kann also für N jede natürliche Zahl nehmen, die ≥ 3750 ist,                                                     die kleinste ist   N = 3750         (Edit n.Kommentar) 

Gruß Wolfgang

Comments

Gilt die Aussage nicht auch schon für N = 3750 ?

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Die Aussage | a_n - 22 | < 1/10³ nicht,  aber wegen n > N kann man das kleinste N = 3750 nehmen. Danke für den Hinweis.

Das umständliche Hantieren mit der natürlichen Zahl N(∈) ist eigentlich sowieso Unsinn (das hat wohl historische Gründe). Eine reelle Zahl X(ε) würde es auch tun.