Beweisen Sie mit vollständiger Induktion (Gleichung mit zwei Summen von (-1)^{k+1}/k und von 1/k)

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:

\( \sum \limits_{k=1}^{2 n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}=\sum \limits_{k=n+1}^{2 n} \frac{1}{k} \quad \text { für alle } n \in \mathbb{N} \)

Answer 1

Zunächst zeige ich das es für n = 1 gilt:

∑ _{(k = 1 bis 2·n)} ((-1)^{k + 1}/k)
∑ _{(k = 1 bis 2·1)} ((-1)^{k + 1}/k) = 1/2

∑ _{(k = n + 1 bis 2·n)} (1/k)
∑ _{(k = n + 1 bis 2·1)} (1/k) = 1/2

Jetzt ist zu zeigen das es für n+1 gilt unter der Annahme das es für n gilt

Annahme ∑ _{(k = 1 bis 2·n)} ((-1)^{k + 1}/k) = ∑ _{(k = n + 1 bis 2·n)} (1/k)

Zu zeigen:

∑ _{(k = 1 bis 2·(n + 1))} ((-1)^{k + 1}/k) = ∑ _{(k = (n + 1) + 1 bis 2·(n + 1))} (1/k)

∑ _{(k = 1 bis 2·n + 2)} ((-1)^{k + 1}/k) = ∑ _{(k = n + 2 bis 2·n + 2)} (1/k)

∑ _{(k = 1 bis 2·n + 2)} ((-1)^{k + 1}/k) = ∑ _{(k = n + 2 bis 2·n + 2)} (1/k)

∑ _{(k = 1 bis 2·n)} ((-1)^{k + 1}/k) + ((-1)^{(2·n + 1) + 1}/(2·n + 1)) + ((-1)^{(2·n + 2) + 1}/(2·n + 2)) = ∑ _{(k = n + 1 bis 2·n)} (1/k) - (1/(n + 1)) + (1/(2·n + 1)) + (1/(2·n + 2))

((-1)^{(2·n + 1) + 1}/(2·n + 1)) + ((-1)^{(2·n + 2) + 1}/(2·n + 2)) = - (1/(n + 1)) + (1/(2·n + 1)) + (1/(2·n + 2))

((-1)^{2·n + 2}/(2·n + 1)) + ((-1)^{2·n + 3}/(2·n + 2)) = - (1/(n + 1)) + (1/(2·n + 1)) + (1/(2·n + 2))

1/(2·n + 1) - 1/(2·n + 2) = - 1/(n + 1) + 1/(2·n + 1) + 1/(2·n + 2)

- 1/(2·n + 2) = - 1/(n + 1) + 1/(2·n + 2)

- 2/(2·n + 2) = - 1/(n + 1)

- 1/(n + 1) = - 1/(n + 1)

was zu beweisen war.