Vereinfache mit dem Additionstheorem sin(x+π/3) - sin(x-π/3)

Question

Problem
Ich mache gerade eine Einführung in Trigonometrische Gleichungen und stehe vor einer Aufgabe und da weiss ich nicht wie ich anfangen muss.  Hier die Aufgabe...

$$sin\left( x+\frac { \pi  }{ 3 }  \right) -sin\left( x-\frac { \pi  }{ 3 }  \right) $$

Ich habe auch als referenz im Buch die Additionstheoreme aufgelistet:

Additionstheroeme
sin ( x₁ ± x₂ )  =  sinx₁ * cosx₂ ± cosx₁ * sinx₂
cos ( x₁ ± x₂ ) =  cosx_{1 *} cosx₂ ±  sinx₁ * sinx₂

Wie kann ich die Aufgabe lösen ?

Comments

Ich habe oben editiert um noch die Lösung bon der Vereinfachung anzugeben es wäre √3 * cosx

Answer 1

Rechne mit x1 = x und x2 = π/3 und subtrahiere dann "dasselbe" aber mit x1=x und x2= -π/3 .

sin(x+π/3) - sin(x-π/3)

= sin(x)cos(π/3) + cos(x)sin(π/3) - (sin(x)cos(-π/3) + cos(x)sin(-π/3)) 

= sin(x)cos(π/3) + cos(x)sin(π/3) - (sin(x)cos(π/3) - cos(x)sin(π/3)) 

Klammern auflösen.

Dann solltest du ein paar spezielle Sinus- und Kosinuswerte gelernt haben. Z.B.  sin(π/3) und cos(π/3)

Zur Kontrolle: ~plot~ sin(x+π/3) - sin(x-π/3);cos(x)*sqrt(3) ~plot~ 

Comments

Gut habe es herausgefunden wie:
wichtig war herauszufinden was x1 oder x2 ist und es war für mich verwirrend weil zwei mal sin(x+b)-sin(x-b) stand

x1= x, x2=π/3

sin ( x + π/3 )  =  sinx * cosπ/3 + cosx * sinπ/3 
sin ( x − π/3 )  =  sinx * cosπ/3 − cosx * sinπ/3 

Der Ausdruck: sin ( x + π/3 ) − sin ( x − π/3 ) bedeutet nichts anderes als:

sinx * cosπ/3 + cosx * sinπ/3 − ( sinx * cosπ/3 − cosx * sinπ/3 )
sinx * cosπ/3 + cosx * sinπ/3 − sinx * cosπ/3 + cosx * sinπ/3 
cosx * sinπ/3  + cosx * sinπ/3 
= 2cosx * sinπ/3 

sinπ/3 = 60° = (√3)/2

= 2cosx * (√3)/2
= cosx * √3 
= √3 * cosx


Wieso steht 2cosx * sinπ/3 und nicht 2cosx * 2cosx sollte bei der Variante mit nur einer "2" die Klammer nicht um das cos*sin?  

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Das ist doch

1*(cos(x) * sin(π/3))  + 1( cos(x) * sin(π/3)  )
= 2 (cos(x) * sin(π/3)  ) 

Analog zu ab + ab = 2ab 

Ausserdem gilt bei Multiplikation von reellen Zahlen das Assoziativ- und das Kommutativgesetz. 

Klammern um die Argumente von sinus und cosinus solltest du eigentlich setzen.

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ok super ja mit den Klammern macht es Sinn, in meinem Buch ist es eben ohne Klammern geschrieben,  und deswegen war es verwirrend.... vielen dank Lu !