Negativer Nenner im Bruch in Potenzschreibweise

Question

Welche der beiden Umformungen ist denn korrekt, und wieso? Danke vielmals.

1/-b = -b^-1 = (-1)b^-1  

oder 

1/-b = (-b)^-1 = ((-1)b)^-1 = (-1)^-1b^-1

Answer 1

1/-b = (-b)^-1 = ((-1)b)^-1 = (-1)^-1b^-1 ist richtig. Übrigens: (-1)^-1= -1

Comments

bei dieser Lösung ändert sich aber das Vorzeichen, je nachdem, was man für den Exponenten einsetzt.


z.B. 1/-b² = b^-2

beim ersteren bleibt es immer beim Minuszeichen.

(-1)^-1 = -1
(-1)^-2 = 1

Answer 2

Hallo Barto,

Beides   ist richtig 

Gruß Wolfgang

Comments

ja, aber solange der Exponent ungerade ist.

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Stimmt, aber -1 ist nun mal ungerade. Von einem anderen Exponenten war in der Frage nicht die Rede.

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die Regel muss ja auch allgemein gültig sein, ich habe beispielsweise für 1 gerechnet.
Deswegen ist die zweite Umformung falsch, aber wieso?

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> Deswegen ist die zweite Umformung falsch, aber wieso?

Sie wäre für einen geraden Exponenten falsch.

 1/-bⁿ = (-b)^-n ist für gerade n falsch: 

1/-bⁿ = - 1/b^-n = - b^-n  weil das Minuszeichen nicht "innerhalb der Potenz" steht (nicht zur Basis gehört).

1 / (-b)ⁿ = (-b)^-n  wäre auch für gerade n richtig, weil das Minuszeichen dann in beiden Fällen verschwindet.

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Der Bruch steht doch immer für das Potenzieren hoch -1. Wenn du eine gerade Potenz im Bruch stehen haben willst, musst du ja sowieso diese Potenz extra aufschreiben und dann entsprechend Klammern setzen also

1/(-b)^2≠ 1/-b^2=-1/b^2=-b^{-2}

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ich hab's raus!


1/(-b) = 1/[(-1)b] = (-1)/[(-1)(-1)b] = (-1)/b = (-1)b^-1 = -b^-1

Zähler und Nenner mit -1 erweitern, damit die -1 im Nenner verschwindet.

Answer 3

1/-b = -b^-1 = (-1)b^-1  


  ist korrekt; denn 1/-b  =  -  1/b  (Vorzeichenregel für Brüche)

und 

1/b = b^-1   ( Def.  negativer Exponent )

also   1/-b = -b^-1 

= (-1)b^-1     denn "minus" vor einem Term ist immer gleich  -1 * Term.

ODER

1/-b = (-b)^-1   (auch korrekt wegen Def. neg. Exponenten) 

= ((-1)b)^-1   (korrekt denn -b = -1*b )

= (-1)^-1b^-1   (korrekt Potenzgesetz   (a*b)ⁿ = aⁿ * bⁿ  )

und weil (-1)^-1 = -1  ist, ist das das geliche Ergebnis wie oben.

Comments

die zweite Möglichkeit ist denke ich falsch, wie ich oben kommentiert habe, weil da das Vorzeichen in Abhängigkeit vom Exponenten ändert, darf aber nicht laut der Regel für negative Brüche.

ich bin auch der Ansicht, dass beide Umformungsmöglichkeiten korrekt sind, beim ersteren bleibt das Vorzeichen immer negativ, unabhängig davon, ob der Exponent positiv oder negativ ist.

Answer 4

Letztere ist korrekt.

Warum? Weil man jedes mal das Rechengesetz angeben kann, das angewendet wurde.

Die erste Umformung ist auch korrekt in dem Sinne, das die durch Gleichheitszeichen verbundenen Terme tatsächlich äquivalent sind. Allerdings wurden manchmal mehr als ein Rechengesetz für die Umformung angewendet.