grenzwert aufgabe Lim_x->0+ (1-cos(x))/(sin^2(x)) (weiss nicht wie ich lösen soll)

Question

Lim_x->0⁺ (1-cos(x))/(sin^2(x))

und
Lim_x->0⁺(1-4x)^3/(2x)Ich habe an l'Hospital gedacht, aber weiss nicht mehr wie das geht.

Answer 1

Lim_x->0⁺ (1-cos(x)/(sin²(x))      ( hoch 2 ?  )

Das ist ein Grenzwert vom Typ 0/0 .

Da kannst du D'Hospital anwenden.

Einfach nur Zähler und Nenner je einzeln ableiten:

sin(x)  /   ( 2* sin(x)*cos(x) )   =    1 /  ( 2*cos(x) )

und das hat für x gegen 0 den Grenzwert 1/2.

Answer 2

lim (x --> 0+) (1 - COS(x))/SIN(x)^2

Hospital

lim (x --> 0+) SIN(x)/(2·SIN(x)·COS(x))

lim (x --> 0+) 1/(2·COS(x)) = 1/2

Comments

lim (x --> 0+) (1 - 4·x)^{3/[2·x]}

lim (x --> 0+) EXP(LN((1 - 4·x)^{3/[2·x]}))

Kümmer dich erst um das Argument der e-Funktion

lim (x --> 0+) (3/(2·x))·LN(1 - 4·x)

lim (x --> 0+) 3·LN(1 - 4·x)/(2·x)

L'Hospital

lim (x --> 0+) 12/(2·(4·x - 1)) = -6

lim (x --> 0+) EXP(LN((1 - 4·x)^{3/[2·x]})) = e^{-6}

Answer 3

a)

$$ \frac{ 1-\cos(x) }{ \sin^2(x) }=\frac{ 1-\cos(x) }{ 1-\cos^2(x) }\\ = \frac{ 1-\cos(x) }{ (1+\cos(x))(1-\cos(x)) } = \frac{1}{1+\cos(x) } \to \frac{1}{2} $$

b)

$$ { (1-4x) }^{ \frac{3}{2x} };\frac{ 3 }{ 2x }=z\\={ (1-6/z) }^{ z }\to { e }^{ -6 } \text{für z gegen }\infty $$