Integralrechnung - Flächen

Question

Die Aufgabe lautet :
Berechnen Sie den Flächeninhalt, der von den Funktionen f und g eingeschlossen ist.
f(x)= 1/2x³ - 3/2x² + 2 und g(x)=x+2

Da ich leider krank bin und in der Stunde nicht da war, weiß ich nicht, wie man das jetzt rechnet.

Answer 1

Als erstes musst du gucken, wo sich die beiden Graphen schneiden, da die Fläche dazwischen gemeint ist. Also f(x) = g(x) und da sollten 2 Zahlen, die den x-Achsen Abschnitt angeben rauskommen. Dann musst du diese Zahlen als untere und obere Grenze nehmen und beide Funktionen integrieren.

~plot~ (1/2)x^3-(3/2)x^2+2;x+2  ~plot~

Anschließend musst du gucken, welche Funktion über der anderen liegt. Indem Fall, zwischen den ersten Punkten, f(x) über g(x). Also rechnest du das Integral von f(x) - g(x). Nun kommt der zweite Teil, wo g(x) über f(x) liegt. Hier das Spielchen genau andersrum und beide Flächen am Ende zusammen addieren. Falls gewünscht kann ich das am konkreten Beispiel einmal vorrechnen.

Answer 2

Bestimme die Nullstellen der Differenzfunktion d(x)=f(x)-g(x)= 1/2x³ - 3/2x² + 2 -(x+2)= 1/2x³ - 3/2x² -x  Hier kann zunächst x ausgeklammert werden d(x)=x(x²/2-3x/2-1). Die erste Lösung ist x=0, Die Nächsten sind die Lösungen x₁ und x₂ der Gleichung x²/2-3x/2-1=0 oder x²-3x-2=0.

Jetzt müssen die Beträge der Integrale von x₁ bis 0 und von 0 bis x₂ der Differenzfunktion addiert werden.