Nullstellen der Cosinusfunktion berechnen

Question

vorneab: ich habe mir die Funktion zeichnen lassen und könnte die Gleichung graphisch lösen. Was aber gefragt ist, ist eine rechnerische Lösung.

Die Funktion lautet f (x)= - cos (x)+1

Ich komme auf die Umformung:

cos (x)=1

Und ich weiß, dass man eine Nullstelle erhält, wenn man für x=0 nimmt. Aber ich soll alle angeben. In den Lösungen haben die das mit einer allgemeinen Variable angegeben, weil die Funktion ja periodisch ist und es unendlich viele gibt. Wie aber komme ich rechnerisch auf weitere Nullstellen? Bitte eine ausführliche Erklärung, das Thema liegt mir gar nicht! :(

Answer 1

Bei x=0 ist schonmal die erste Nullstelle. Die Periode des cos ist 2π. Also treten im Abstand von 2π immer wieder Nullstellen auf. Die Lösung für alle Nullstellen ist also k*2π wobei k Element der ganzen Zahlen ist. Also ...-1,0,1..

Answer 2

da die von Dir angegebene Funktion \(2\pi\)-periodisch ist, musst Du zuerst nur eine Nullstelle finden. Wenn Du Dir bereits den Graphen hast zeichnen lassen, wirst Du sehen, dass sich bei \(x=0\) eine Nullstelle befindet. Rechnerisch kannst Du das durch \(\arccos(1)=0\) mit dem Taschenrechner herausfinden. Du "addierst" die Periode auf Dein Startergebnis und lässt ganzzahlige Vielfache (also auch negative) von \(2\pi\) (der Periode) zu. Die Nullstellen liegen also in der Menge $$\{k\cdot 2\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}$$

Hilft Dir das weiter? Melde Dich bei Rückfragen gerne wieder!

André, savest8

Comments

Und wenn im Cos jetzt zb x*pi steht?

Also neuer Ausdruck: 1-cos (pi*x)?

Danke für die Antwort. Bin gerade in eile, also entschuldige die knappen worte

---

Du gehst hier analog zur anderen Aufgabe vor. Allerdings ändert sich hier die Periode wie folgt: $$\dfrac{2\pi}{\pi}=2$$ Bei \(x=0\) haben wir wieder eine Nullstelle. Die Nullstellen liegen also in der Menge $$\{k\cdot 2\mid k\in\mathbb{Z}\}$$ Hast Du alles verstanden?

André, savest8

---

Also rechne ich immer die Periode aus und habe so die Nullstellen, das ist logisch. :D Eine Frage hätte ich noch: fallen,wenn man mit der Periode rechnet, nicht einige Nullstellen weg?

---

Oh und selbstverständlich bedanke mich herzlich für die Antwort und die Hilfe. :)

---

Ich habe noch eine letzte Frage und Bitte.

Ich hab mir folgende Aufgabe gestellt:

0=sin (pi*x)

Die erste Nullstelle liegt bei x=0. Die periodenlänge beträgt 2. Somit treten Nullstellen auf bei k*2. Eine Frage jetzt. Wenn ich mir den Graphen zeichnen lasse liegt die nächste Nullstelle bei x=1. Muss die eigentliche "Formel" für die Funktion nicht k lauten? Denn es treten mehr Nullstellen auf, als bei k*2.

---

Mit der Periodenlänge fängst Du einen Satz an Nullstellen ein und mit der halben Periodenlänge den anderen. Bedenke, dass Deine ursprüngliche Frage nicht auf Nullstellen abzielte.

---

Oh Gott. Stimmt. Muss mal meinen Kopf frei bekommen und das alles sortieren. Danke für deine Geduld und deine Hilfe! :)