Prozentänderung bei partieller Elastizität

Question

 

Ich habe hier folgende Aufgabe bei der ich die a) ohne Probleme gelöst habe allerdings bei der b) einfach nicht auf den richtigen Lösungsansatz komme...Ich wäre sehr dankbar, wenn hier jemand von euch einspringen könnte;) 

"Ein Unternehmen stellt farbigen Kunstoff her. Der Funktionswert f(x, y) = $$ { e }^{ x+3{ y }^{ 2 } }$$ gibt an, wie viel Gramm Farbstoff man der Mischung aus x Litern Polyesterharz und y Litern Epoxidharz im weiteren Produktionsverfahren zusetzen muss.  

a) Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differenzials df, um wie viel Gramm sich der Farbstoffbedarf näherungsweise ändert, wenn x von 4 auf 4.2 Liter und y von 1.2 auf 1.23 Liter erhöht werden. (4 Punkte) 

b) Berechnen Sie näherungsweise mit Hilfe der partiellen Elastizität, um wie viel Prozent sich der Farbstoffbedarf ändert, wenn x von 4 auf 4.2 Liter erhöht wird und y konstant 1.2 Liter bleibt. (3 Punkte) "

Die Lösung ist laut Aufgabe 20%. 

Herzlichen Dank!

Answer 1

Damit auch diese Frage nicht mehr offen bleibt:

$$ f(x,y)=e^{x+3y^2} $$$$ \frac { ∂f }{ ∂x }(e^{x+3y^2})=e^{x+3y^2}$$$$ E_{f,x}=\frac { x }{ e^{x+3y^2} }e^{x+3y^2}=x$$$$ E_{f,x}(4;1,2)=4 $$
⇒ Steigt x um 1%, so vergrößert sich der Funktionswert um ungefähr 4%. Da x jedoch von 4 auf 4,2 Liter erhöht wurde (also um 5% erhöht wurde), müssen wir das Ergebnis mit dem Faktor 5 multiplizieren.

Steigt x also um 5%, vergrößert sich der Funktionswert um ungefähr 20%.