Flächengrößtes Quadrat zwischen zwei Graphen

Question

Zwischen den Graphen mit den Gleichungen g(x)=x und f(x)=x² wird für 0<x<1 ein Quadrat so eingepasst, dass zwei diagonal gegenüberliegende Ecken je auf einem der Graphen liegen. Welches Flächenmaß hat das flächengrößte Quadrat dieser Art?

Comments

also 1 Eckpunkt auf f und 1 Eckpunkt auf g ?
diagonal gegenüberliegende Eckpunkte.

Answer 1

Nimm an, die diagonal gegenüberliegenden Ecken sind

(x; x² ) und   (x-h ; x-h)  

Dann ist, damit es ein Quadrat ist  h = x - h  -  x²    also  h = ( x-x² ) / 2

Und die Quadratfläche ist    A(x) =   h² =  (    ( x-x² ) / 2   ) ²   = x⁴/4 -x³/2 + x²/4


A ' (x) = x3 -3x² + x/2    mit den Nullstellen 1 ,  1/2   ,  0   .

Max liegt bei x=1/2 , also   bei h = 1/8

A_max =   1/64


 

Comments

Dann ist, damit es ein Quadrat ist  h = x - h  -  x²

Davon steht nichts in der Aufgabe

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Doch:

wird für 0<x<1 ein Quadrat so eingepasst,

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66 - 16·√17  >  1/64