Integralrechnung: Funktionen; f(x) = -(x-2)^2 + 4, g(x) = m * x; Fläche gleich groß

Question

für welche Wert von m sind die beiden Fläche gleich groß ?

f(x) = -(x-2)^2 + 4

g(x) = m * x

Comments

Du meinst die Flächen zwischen den beiden Graphen und der x-Achse und den beiden Graphen?

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ja im intervall 0 bis 4 .......... also einmal zwischen f und g       und unter g  bis x

Answer 1

Hi,

Die Parabel hat eine Gesamtflächen von

A_Par=∫₀⁴ -x^2+4x dx = 32/3

 

Folglich ist der Flächeninhalt 16/3 gesucht, damit beide Flächen gleich groß sind.

f(x)-g(x) = -x^2+4x-mx

Schnittpunkte -> -x^2+4x-mx = 0

x(-x+4-m)=0 -> x=(4-m) und x=0

 

A_Halb = ∫₀^(4-m) -x^2+4x-mx dx = [-1/3x^3+2x^2-m/2*x^2]₀^4-m = -m^3/6 + 2m^2 - 8m +32/3 = 16/3.

 

Löst man dies (Newton oder ähnliches) kommt man auf m≈0,83.

Die Gerade y=0,83x sorgt also dafür, dass die Flächen halbiert werden.

 

Grüße

Comments

Geniale idee ich wäre anders dran gegangen mit A1 = A2       , aber so gut wie du ist halt fast niemand, vorallem in der zeit

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Das mit dem Flächeninhalt gleichsetzen hätte man sicher auch machen können, erscheint mir aber zu kompliziert. Ich bin einfach gestrickt und suche einfache Wege.

Und das mit der Zeit kommt nur mit der Übung^^.


Wie ich übrigens gerade noch rumgebastelt hatte -> man braucht gar keinen Newton, man kann es sogar algebraisch lösen (also m=0,83), falls Du an Newton nicht interessiert bist...^^

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Mit der unteren Fläche zu rechnen ist etwas mühsam, weil man da allein mit 2 Integralen zu tun hat. Unknown hat denke ich den geschicktesten Weg gewählt.

Da kann man nur einen Daumen geben.

Skizze:

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Lösung ist algebraisch einfach 

m = 4 - ³√32

Aber es ist denke ich völlig ok das dezimal anzugeben.

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Ich hatte den Rechenweg mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks gemeint ;).


Und danke für Bild und Daumen :).

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Gut soweit ,   nun soll die grüne Fläche in der Abbildung genauso groß sein wie der R

 

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Hmm,

diesmal fällt mir nix sauberes ein:

∫₀⁴ nx dx = 2 (∫₀^n-4 -x^2+4x-nx dx + ∫_n-4⁴ -x^2+4x dx)

Ersteres ist das gesamt Dreieck. Es braucht also 2 mal den bei Mathecoach dunkelgrünschraffierten Flächeninhalt. Deswegen der Faktor 2. Das Integral habe ich dabei aufsplitten müssen.

Nun integrieren und Grenzen einsetzen.

 

Gelöst ergibt das unter anderem n=1,83.

Wenn ich mich also nicht verhaspelt habe, lautet die gewünschte Gerade: y=1,83x.

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ich glaube du hast ganz oben  bei A_halb   im integralintervall      statt    -m/2*x^2              -m/2*x geschrieben oder?

 

Vielen dank für die Hilfe

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Yup, das ist abhanden gekommen ;).

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Wohl den zweiten Teil falsch verstanden. Siehe hier: https://www.mathelounge.de/42359/integralfunktion-gleiche-flache

Answer 2

Mhh, ich bin mir nicht sicher ob ich deine Frage richtig verstanden habe.

Für welches m schließen die Funktionen f und g mit der x-Achse im Intervall [0,4] die gleiche Fläche ein?


Wenn das die Frage war, ist die Lösung folgende:

Setzt man beide gleich und stellt auf m um ergibt sich:


m= 4/3

 

Die Frage die Unknown beantwortet hat lautet:

Welches m ist zu wählen, damit die Fläche, die f(x) mit der x-Achse einschließt, in zwei gleich große Teile geteilt wird.

Comments

nein es lautet für welchs z   sind die beiden flächen gleich groß  also das P = R   wie lautet dann die gerade

 

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Ja, dazu muss man zuerst den Schnittpunkt zwischen f und g angeben:

wann ist f(x) = g(x)?

für x= 0 und x=4-m

dann werden die Integrale berechnet:

 

 

Wann sind diese Integrale gleich?

Gleichsetzten und auf m auflösen ergibt: m_1=2,13899

 

Falls ich mich nicht verrechnet habe.