Parabel. Kleinster , minimaler Wert des Produkts?

Question

Hallo haben dieses Thema gerade Angefangen könnte mir jemand helfen? danke

Aufgabe:

Berechne für die Zahl 4 (5 ; x) das Produkt  aus dem um 4 vergrößerten vierfachen einer Zahl und der um 3 kleineren Zahl. Für welche Zahl wird dieses Produkt am kleinsten? Gib das Minimum an.

Answer 1

Berechne für die Zahl 4 das Produkt  aus dem um 4 vergrößerten vierfachen einer Zahl und der um 3 kleineren Zahl. 

4*(4 + 4*4) * ( 4-3) = 4*(20) * 1 = 80

Berechne für die Zahl 5  das Produkt  aus dem um 4 vergrößerten vierfachen einer Zahl und der um 3 kleineren Zahl.

4*(4 + 4*5) * ( 5-3) = 4*24 * 2 = 96*2 = 192 (ohne Gewähr! Bitte nachrechnen!)

Berechne für die Zahl x das Produkt  aus dem um 4 vergrößerten vierfachen einer Zahl und der um 3 kleineren Zahl. 

4*(4 + 4*x) * ( x-3) = (16 + 16x)(x-3) = 16x + 16x^2 - 48 - 48x = 16x^2 - 32x - 48

Für welche Zahl x wird dieses Produkt am kleinsten? 

f(x) = 16x^2 - 32x - 48 

Ableitung 0 setzen  (Alternative, falls du noch nicht ableiten kannst: Funktionsgleichung auf Scheitelpunktform bringen) 

f ' (x) = 32x - 32 = 0

==> x = 1. 

Für die Zahl x = 1 wird das Produkt am kleinsten. 

Comments

Minimaler Wert: 

4*(4 + 4*x) * ( x-3) 

4*(4 + 4*1) * ( 1-3) = 4*8*(-2) = -64 

Kontrolle hat leider in der vorgegebenen Zeichenzahl keinen Platz mehr gehabt, daher in diesem Kommentar: https://www.wolframalpha.com/input/?i=4*(4+%2B+4*x)+*+(+x-3)

Über die Parabelgleichung:

f(x) = 16x² - 32x - 48 = 16(x^2 - 2x - 3)   | quadratische Ergänzung

= 16(x^2 - 2x + 1 - 1 - 3) 

= 16((x-1)^2 - 4)

= 16(x-1)^2 - 64

Scheitelpunkt S(1|-64).

Für x=1 ist das Produkt minimal. Der minimale Wert beträgt y=-64 .