Extremstellen Trigonometrie: P(t) mit x(t) = cos t und y(t)=sin^2 t

Question

Wir betrachten einen Punkt P(t), der sich im Zeitintervall t ∈ [0,π] in der Ebene bewegt,

so dass zum Zeitpunkt t die x-kordinate von P(t) den Wert x(t) = cos t und die y-Koordinate den Wert y(t)=sin^2t hat.

Beachten Sie das Quadrat beim SInus, ohne Quadrat wäre es ein Halbkreis!

Bestimmen Sie den minimalen Abstand von P(t) zum Koordinatenursprung und alle Zeitpunkte t ∈[o,π] zu den dieser minimale Abstand erreicht wird.

Hinweis: Der Abstand ist genau dann minimal, wenn auch der quadratische Abstand minimal ist.

Comments

Hier fehlt das Argument des Sinus.

Sollte y(t)=sin^2t        y(t)=sin² t sein?

Answer 1

Das Quadrat des Abstandes von P vom Ursprung ist 

d(t) = cos^2 t + sin^4 t

Ableitung 0 setzen.

d'(t) = 2 cos t * (-sin t) + 4 * sin^3 t * cos t

                |faktorisieren

        = 2 sint cost ( 2 sin^2 t   – 1)

d ' (t) = 0

sin t = 0 → t1=0, t2=pi
cos t = 0 → t3 = pi/2

2 sin^2 t = 1 

sin^2 t = 1/2
sin t = 1/√2

t4= pi/4, t5=3pi/4

Jetzt noch alle Resultate in d(t) einsetzen und vergleichen. Du brauchst das oder die t mit dem grössten d-Wert.