Limes untersuchen, Reihe und Trigonometrische Funktion

Question

Hi folgende Aufgaben,

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { 9 }^{ n-1 } }{ { 11 }^{ n } }  } $$

mittels Quotientenkriterium kann ich zwar zeigen, dass die Summe konvergiert (da 9/11 < 1) aber wie berechne ich hier den Wert der Summe, also den Grenzwert?

zweite Aufgabe:

lim_x↓0    $$ sin(x)^{ x }$$

ich weiß, dass der Grenzwert 1 ist, aber wie zeige ich das?

Comments

Grenzwert von a) geometrische Reihe ist a_0 * q/(1-q) mit a_0 = 1/9 und q = 9/11 ist der Grenzwert 1/2

Answer 1

a) das ist eine geometrische Reihe 

b) $$ sin(x)^x={ e }^{ ln(sin(x)^x) }={ e }^{ xln(sin(x)) } $$

Kommst du damit weiter ?

Comments

Hi,

also a) konnte ich nun lösen und nachvollziehen.

Bei der b), setze ich nun einfach für die x 0 ein? e^0 wäre ja dann 1, aber der ln(0) ist ja nicht definiert oder ist das egal, da 0 * ln(sin(0)) eben 0 ist?

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Ja, so änhlich. Direkt 0 einsetzen darf man nicht, da der LN dort nicht definiert ist.

Es gilt aber lim x---> 0 x*LN(sin(x))=0

Das kann man mit der Regel von lhospital oder Reihenentwicklung des Sinus zeigen.

Potenzfunktionen unterdrücken den Logarithmus im Produkt.

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Also mit der Reihenentwicklung des Sinus, wäre das dann so?

sin(x) = x/1!  -  x^3/3!   + x^5/5!   -  x^7/7!    + ....usw.

da wir nur den rechtsseitigen Grenzwert betrachten, fallen die negativen Terme weg, also bleibt:

lim_x↓0 sin(x) = x/1!   +  x^5 /5!   +  x^9/9!   + ....usw.     geht gegen 0  +  0  +  0   für x-> 0

"Potenzfunktionen unterdrücken den Logarithmus im Produkt." -Was genau meinst du damit?

Und wie würde es mit lhospital gehen?

nehme ich dann x * ln(sin(x)) und dann f(x) = x  und g(x) = 1/(ln(sin(x)))  und dann f(x) / g(x) ?