Question

Limes von Reihe mit Summanden  (-1)^n*an bestimmen 

Sei eine Folge (an) gegeben durch:

an = 2/n (falls n ungerade)

an = 1/n (falls n gerade)

wie kriege ich den lim von (-1)^n*an

mich irritieren nun diese 2 Fälle bei der Limes berechung + beweis. Wie gehe ich da am besten vor?

EDIT: Ursprüngliche Überschrift. "Limes von Folge bestimmen: (-1)^n*an " 

Geändert gemäss Kommentaren vom 10.5.2017. Tag Reihe ergänzt. 

Comments

Tipp: \(\big\vert(-1)^n\cdot a_n-0\big\vert=a_n\le\frac2n\).

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Würdest du sagen, dass 0 der Grenzwert ist? Ich schaffe es nicht das Gegenteil zu zeigen.

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Ok, jetzt hätte ich an < 2/n < n*(2/n) = 1 > epsilon. Also widerspruch

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In der Tat ist Null der Grenzwert. Wähle \(n>\large\frac2\varepsilon\).

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Die Aufgabe sagt ich soll zeigen, dass die reihe divergiert..

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@385Ifr: Wenn du eine Reihe mit den angebenenen Summanden meinst, darfst du am Anfang nicht Folge schreiben.

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Es gilt doch nach dem nullkriterium. dass das ohne summenzeichen keine nullfolge sein darf.

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Bildet die Folge der Summanden einer Reihe keine Nullfolge, dann divergiert die Reihe

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@385lfr. Das Problem bei deiner Folge (offenbar eine Summandenfolge) ist, dass sie eine Nullfolge ist.

Und die Umkehrung des von dir erwähnten Satzes nicht gilt. Nur wenn die Summandenfolge keine Nullfolge wäre könntest du direkt auf Divergenz schliessen.

Eine Summandenfolge, die eine Nullfolge ist und deren zugehörige Reihe divergiert, ist die berühmte harmonische Reihe, die ihr bestimmt schon kennengelernt habt.

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Ok das schließt die divergenz aber nicht aus. Ich habs jetzt mit dem quitientenkriterium probiert. Für ein fall kam raus, dass lim = 2 ist und für den anderen fall lim = 1/2 je nachdem was man für den nenner und zähler wählt. Reicht es nun aus, dass es für einen fall größer als 1 ist und somit divergiert?

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Hast du vielleicht einenen externen Link, wo man was zum zusammenfassen findet? Ich kann den Ansatz nicht nachvollziehen.

Answer 1

Wir sprechen inwischen über die Reihe die zur angegebenen Folge gehört. Vgl. Kommentare von 385lfr vom 10.5.2017

Ok das schließt die divergenz aber nicht aus. Ich habs jetzt mit dem quitientenkriterium probiert. Für ein fall kam raus, dass lim = 2 ist und für den anderen fall lim = 1/2 je nachdem was man für den nenner und zähler wählt. Reicht es nun aus, dass es für einen fall größer als 1 ist und somit divergiert?

Du darfst die Fälle (gerade und ungerade) nicht separat untersuche.

Fasse mal immer 2 Summanden zusammen zu einer Summandenfolge bn.

an = 2/n (falls n ungerade)

an = 1/n (falls n gerade)

bn = (-1)^{n} * an

cn = b_(2n-1) +  b_(2n)

= - 2/(2n-1) + 1/(2n)

= - (1 + 2 n)/( 4 n^2-2n)           [ Zahlen ohne Gewähr; musst du nachrechnen‘ ] 

Nun musst du ja die cn alle zusammenzählen. Du kannst cn mit einem Vielfachen einer harmonischen Reihe vergleichen und ausschliessen, dass die zur gegebenen Folge gehörende Reihe konvergiert.

Comments

Was meinst du mit cn zusammenzählen?

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Summenzeichen davor schreiben.

Summe geht von n=1 bis n=unendlich

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Ok, aber bei quitientenkriterium habe ich die Fälle nicht separat betrachtet. Ich habe für ak+1 = 2/n+1 und ak = 1/n einmal eingesetzt und einmal genau andersrum also ak+1 = 1/n+1 .... . Ist das nicht erlaubt?

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Die Formulierung " für fast alle" ist eine Gefahr für deine Argumentation, da du in beiden Bereichen unendlich viele Fälle hast.

https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium 

Falls ihr eine strengere Formulierung bewiesen habt, kann deine Rechnung genügen.

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Ich glaube nicht, dass du die 2 Fälle so zusammenfassen kannst. Setzt doch mal jeweils einzeln ein und guck was rauskommt.

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Guter Einwand! 

"Ich glaube nicht, dass du die 2 Fälle so zusammenfassen kannst. "

"Setzt doch mal jeweils einzeln ein und guck was rauskommt."

Das darfst du genau nicht. Man muss die Summanden der Reihe nach addieren, wenn man n gegeben unendlich gehen lässt. 

Und das mache ich mit meiner Methode, ich fasse jeweils nur zwei endliche Werte, das ist immer schön endlich. 

"Setzt doch mal jeweils einzeln ein und guck was rauskommt."

Du kommst auf -unendlich + unendlich und das kann jede reelle Zahl oder auch + oder - unendlich geben. 

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Hast du vielleicht einenen externen Link, wo man was zum zusammenfassen findet? Ich kann den Ansatz nicht nachvollziehen.

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Kann ich das auch so zusammenfassen?

an = 2/n (falls n ungerade) 

an = 1/n (falls n gerade)

bn = (-1)^n*an

cn = bn + bn+1

     = -2/n + 1/(n+1)

    = -2*(n+1)/ (n^2 + n) + n/(n^2 + n)

    = (-n+2)/(n^2 + n)

Und jetzt auf Divergenz prüfen als Reihe?

So decke ich es mit Zweierschritten ab.

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ich bin für meine Rechnung / Zählung

bn = (-1)ⁿ * an

cn = b_2n-1 +  b_2n    Glied mit ungerader Nummer + Glied mit gerader Nummer

= - 2/(2n-1) + 1/(2n)    | Bruchaddition

= - (1 + 2 n)/( 4 n²-2n)

Bei deiner Rechnung kommt (fast) jeder Summand 2 mal vor / einmal mit ungerader und einmal mit gerader Nummer.

cn = bn + bn+1     | Hier ist das schon nicht gut. Bruchaddition kannst du. 

     = -2/n + 1/(n+1)

    = -2*(n+1)/ (n² + n) + n/(n² + n)

    = (-n+2)/(n² + n)

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Hast du vielleicht einenen externen Link, wo man was zum zusammenfassen findet? Ich kann den Ansatz nicht nachvollziehen