lim_(n→∞)sn=lim_(n→∞)∑_(k=1)^n x^k Limes der Reihe berechnen

Question

Berechnen Sie in Abhängigkeit von x∈ℝ :

$$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \quad  } { s }_{ n }\quad =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \quad  } \sum _{ k=1 }^{ n }{ { x }^{ k } } \\ $$

\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \quad  } { s }_{ n }\quad =\quad \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \quad  } \sum _{ k=1 }^{ n }{ { x }^{ k } } \\

Kann mir jemand erklären was ich hier zu rechnen habe?Wie muss ich anfangen?

Answer 1

$$(1)\quad s_n=\sum_{k=1}^nx^k$$Muliplikation mit \(x\) liefert$$(2)\quad x\cdot s_n=x\cdot\sum_{k=1}^nx^k=\sum_{k=1}^nx^{k+1}=\sum_{k=2}^{n+1}x^k$$Bilde die Differenz aus (1) und (2):$$s_n-x\cdot s_n=\sum_{k=1}^nx^k-\sum_{k=2}^{n+1}x^k$$$$(1-x)\cdot  s_n=x-x^{n+1}$$$$s_n=\frac{x-x^{n+1}}{1-x}.$$

Comments

Können sie mir sagen welches verfahren sie angewand haben?

Von der rechnung an sich habe ich alles verstanden außer ihre vorletzte zeile:

wie wird aus

$${ s }_{ n }-x*{ s }_{ n }$$

das hier?

$${ (1-x)*{ s }_{ n } }$$

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\(s_n\) ausklammern:\(\quad\color{blue}1\cdot s_n-\color{blue}x\cdot s_n=(\color{blue}1-\color{blue}x)\cdot s_n\).

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danke hab ich verstanden.

aber meine frage "Können sie mir sagen welches verfahren sie angewand haben?"   bezog sich auf das gesamte verfahren.Ich möchte gerne das Thema wissen, damit ich mir ggf übungen heraussuchen kann.

Vielen Dank

Answer 2

Das ist eine geometrische Reihe.

Nimm die Partialsummenformel für geometrische Reihen und untersuche für welche x-Werte der Grenzwert des Resultats existiert.

Vermutung: Man sollte dort sehen, dass |x| < 1 sein muss.

Comments

habe von der partiasummenformel noch nie gehört. kann man auch die aufgabe anders lösen?

wenn nicht,  habe ich bis jetzt das hier :

$$ \frac { 1-{ x }^{ kn } }{ 1-{ x }^{ k } }  $$

richtig?

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Ja genau. Das ist die Formel für die sog. Partialsummen. Das k hat aber in deinem Bruch nichts zu suchen. Nur x und n. Schaue noch nach, ob für deine Formel k bei 0 oder 1 beginnen muss. Allenfalls noch xo vom Resultat abziehen.

Dann musst du x festhalten und n gegen unendlich gehen lassen.

Dann schauen für welche x das Ergebnis endlich ist und für diese s berechnen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Berechnung_der_.28endlichen.29_Partialsummen_einer_geometrischen_Reihe