Arithmetische Reihe - komme nicht auf die richtige Lösung

Question

grundsätzlich weiß ich, dass ich die Formel sn=n/2(2a1+(n-1)d) nehmen muss. Aber ich komme auch durch drehen und wenden nicht auf die Lösung. Die Baulandreserve einer Kleinstadt beträgt gegenwärtig 1004000 m2. Während im laufenden Jahr exakt 70000 m2 verbaut werden, nimmt durch Zuzug und andere Faktoren die neuverbaute Fläche Jahr für Jahr um 6750 m2 zu. Nach wievielen Jahren verfügt die Stadt über kein Bauland mehr? Runden Sie das Ergebnis auf eine ganze Zahl, falls erforderlich.

Answer 1

Die Baulandreserve einer Kleinstadt beträgt gegenwärtig 1004000 m2. Während im laufenden Jahr exakt 70000 m2 verbaut werden, nimmt durch Zuzug und andere Faktoren die neuverbaute Fläche Jahr für Jahr um 6750 m2 zu. Nach wievielen Jahren verfügt die Stadt über kein Bauland mehr? Runden Sie das Ergebnis auf eine ganze Zahl, falls erforderlich.

Am einfachsten geht es mit Integralrechnung

Fortentwicklung der Neubaufläche

f ( x ) = 70000 + 6750 * x
f ( 0 ) = 70000
f ( 1 ) = 70000  + 6750 * 1
f ( 2 ) = 70000 + 6750 * 2
usw

Aufsummierung durch Bildung der Stammfunktion
S ( x ) = ∫ 70000 + 6750 * x  dx
S ( x ) = 70000 * x  +  6750*x^2 / 2
S ( x ) = 70000 * x  +  3375 * x^2

Zeit feststellen bis zur Grenze
[ S ( x ) ] ₀ ^t = 1004000
70000 * t  +  3375 * t^2 - 0 = 1004000
t = 9.75 jahre

mfg Georg

Comments

Hallo Georg,

danke für deine schnelle Antwort. Mit Integralrechnung komm ich leider nicht zusammen. Kennst du einen Weg das mit dieser summenformal zu lösen?

LG Leila

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Hallo Leila,

anknüpfend an meine Aussage

Fortentwicklung der Neubaufläche

f ( x ) = 70000 + 6750 * x

n : Anzahl der  Flächen

f ( 0 ) = 70000 + 6750 * 0
f ( 1 ) = 70000 + 6750 * 1
f ( 2 ) = 70000 + 6750 * 2
f ( 3 ) = 70000 + 6750 * 3

Ergibt sich als Summe

n = 4
70000 * n + 6750 * 0 + 6750 * 1 + 6750 * 3...
arithmetische Reihe
70000 * n + 6750 *  ( 0 + 3 ) * n / 2
70000 * n + 6750 *  ( 0 + n - 1) * n / 2
70000 * n + 6750 *  ( n - 1) * n / 2

70000 * n + 6750 *  ( n - 1) * n / 2 = 1004000
n = 10.0018

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Die Berechnung mit Integralrechnung nehme ich zurück.
Die Integralrechnung ist hierzu nicht geeignet.

Answer 2

sn=n/2(2a1+(n-1)d) nehmen muss. 

Aber ich komme auch durch drehen und wenden nicht auf die Lösung. 

Die Baulandreserve einer Kleinstadt beträgt gegenwärtig 1004000 m2. Während im laufenden Jahr exakt 70000 m2 verbaut werden, nimmt durch Zuzug und andere Faktoren die neuverbaute Fläche Jahr für Jahr um 6750 m2 zu. Nach wievielen Jahren verfügt die Stadt über kein Bauland mehr? Runden Sie das Ergebnis auf eine ganze Zahl, falls erforderlich. 

a1 = 70000

d = 6750

sn = 1004000

Also 1004000 = n/2 ( 2* 70000 + (n-1)6750) 

Das ist eine quadratische Gleichung. Klammern auflösen und ganz sorgfältig umformen bis du die abc- oder die pq-Formel verwenden kannst.

Zur Kontrolle: 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1004000+%3D+n%2F2+(+2*+70000+%2B+(n-1)6750)

In der Realität ist die negative Lösung uninteressant. Resultat wäre, wenn richtig eingegeben: 10 Jahre. Also: laufendes Jahr + weitere 9 Jahre. 

Answer 3

Hallo Leila,

n/2 · (2a + (n-1) · d) = 1004000

n/2·(2·70000 + (n - 1)·6750) = 1004000

Ausmultiplizieren und zusammenfassen:

3375·n² + 66625·n  = 1004000      |  - 1004000    | : 3375

n² + 533 / 27 · n  - 8032 / 27  =  0

x² + px + q = 0

pq-Formel:  p = 533 / 27  ; q = - 8032 / 27

_n1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)

n ≈ 10.0018  ≈  10       [ n = - 29.74260458  < 0  entfällt ]   

Gruß Wolfgang