untersuchen sie die funktion f mithilfe der ersten ableitung auf monotoni

Question

 1. f(x)= x⁴-2x²

2. f(x)= 4x+ x²

3. f(x)= 1/3x²-9x+1

4. f(x)= 1/8x⁴+4x

Ich kann das wirklich gar nicht kann mir jemand helfen bitte !!

Answer 1

2. f(x)= 4x+ x²

f ´( x ) = 4 - 2x

Monotoni > 0 ( Steigend )
2 - 2x > 0
2x < 2
x < 1

x < 1 steigend
x > 1 fallend

3. f(x)= 1/3x²-9x+1

f ´( x ) = 1/2 * 2 * x - 9

Monotoni > 0
1/2 * 2 * x - 9 > 0
x - 9 > 0
x > 9

x > 9 steigend
x < 9 fallend

4. f(x)= 1/8x⁴+4x

f ´ ( x ) = 1/8 * 4 * x^3 + 4
f ´ ( x ) = 1/2 * x^3 + 4

Monotoni = 0
( weder steigend noch fallend )

1/2 * x^3 + 4 = 0  | * 2
x^3 + 8 = 0
x = - 2

Wie sieht es davor und hinter der Stelle aus
f ´ ( x ) = 1/8 * 4 * x^3 + 4
Links von x = -2 ( z.B.-2.1 )
f ´ ( -2.1 ) = 1/8 * 4 * (-2.1)^3 + 4  = -0.63
x < -2 fallend

Rechts von x = -2 ( z.B. -1.9 )
f ´( -1.9 ) =  1/8 * 4 * (-1.9)^3 + 4  = 0.57
x > -2 steigend

Answer 2

1. f(x)= x⁴-2x²

f'(x)=4x³-4x= 4x(x²-1)

Erstens die Ableitung ist keine konstante Funktion. Also gibt es Stellen x, wo die Monotonie sich ändert.
Was sind diese Stellen genau? 
Das sind: x=0, 1, -1, denn f'(0)=f'(1)=f'(-1)=0.

Was passiert mit f' für x:  -oo < x < -1 ?
Wir setzen -a:=x mit a>0 um das Vorzeichen zu verfolgen: 

f'(x)=f'(-a)=4(-a)((-a)²-1)=-(4*a(a²-1)) <0 

Es folgt die Funktion f fällt im Bereich -oo < x < -1.

usw. für -1<x<1, 1<x<oo.